1    Review questions

Indicate whether each statement is true, false, or uncertain, and give a brief explanation.

1. Feldman and Slemrod (2007) find that different evasion rates across different types of income not subject to third-party reporting.

2. Imputation eliminates the corporate income tax in Australia.

3.  Government provision of social insurance overcomes the moral hazard problem.

4. In contrast to social insurance, private insurance can provide perfect insurance be- cause customers pay the full cost of expected insurance claims through the premi- ums.

2    Problems

2.1    Social Insurance

Consider an economy of individuals who each have income W and increasing and concave utility u(·). These consumers may or may not develop a health condition, which requires money to fix. Without insurance, their utility is u(W) if they do not develop the health condition and u(W − d) if they develop the health condition (and therefore have to pay to get it fixed).

These individuals have the option of buying health insurance.   This health insurance requires them to pay a premium regardless of whether they develop the health condition, but completely covers the cost of fixing the condition if they develop it. With insurance, their utility is u(W − k) if they are insured, where k is the insurance premium. They are fully insured, so their utility is u(W − k) regardless of whether they develop the health condition. We will assume that W − d < W − k < W .

There are three types of consumers:

i high-risk individuals who develop the condition with probability pH ii medium-risk individuals who get it with probability pM

iii low-risk people who develop it with probability pL

with pH  > pM  > pL . One third of consumers are of each type.

Finally, the cost to the insurance company of fixing the condition for someone who has purchased their insurance is also d (that is, it is equal to the cost to the consumer to fix the condition).

(a)  Suppose that the insurance company can observe the risk characteristics of each individual.  Assuming that the company offers actuarially fair insurance, explain why each individual will get insurance if and only if:

pj u(W − d) + (1 − pj )u(W) < u(W − pj d)                           (1)

where pj  ∈ {pH ,pM ,pL } is the probability that the individual develops the condition, given their type.

(b) Assume that equation (1) holds for individuals of all risk types.  But now suppose that the insurance company cannot price its insurance based on the risk character- istics of individuals.  If the company offers a single insurance product with a fixed premium and assumes that everyone will buy it, explain why their expected cost is pd, where:

pd = (pH + pM + pL )d

(c) Under what conditions would low risk individuals be willing to buy the insurance offered by the company in part b above?  What about medium risk?  What about high risk?   Hint:  Assume the  company charges  everyone  a premium  equal to  the expected cost from part 2 above.  Combine that with equation  (1), which describes under what conditions each individual would be willing to purchase insurance.

(d)  Continuing from part c, is it possible for low-risk people to be willing to purchase the insurance offered by the company in part b, while high risk individuals are not? Show it mathematically using your results from part c.

(e)  Suppose that low-risk individuals are unwilling to buy the insurance but that other individuals still are. Explain why the expected cost of the insurance is now:

pd =  (pH + pM ) d

(f) Under what conditions will a high risk individual buy the insurance offered by the

company in part e above? What about medium risk?

(g)  Suppose that medium-risk individuals are actually unwilling to buy the insurance at this cost, but that high-risk individuals still are. If medium-risk individuals drop out of the market, what is the expected cost now?  Under what conditions will an individual of type H indeed be willing to buy this insurance?  Will they purchase it?

(h) We are left in a situation in which only high-risk individuals will purchase insurance. However, low-risk and medium-risk individuals would have been willing to pay for actuarially fair insurance that covered their own expected costs. What caused this problem? What policy could help fix this problem?

2.2    Insurance and Redistribution

Explain the why, during the lecture on social insurance, I stated that the motivation for insurance is similar to the mathematical logic for redistribution.