3. Problem - Common assumptions about consumer preferences (5 points)

Briefly discuss why continuity is  a crucial  assumption needed to conduct economic  analysis of consumer preferences and choice.

Continuity assures that the preference relation on the set of all bundles of two goods is representable by  a  (continuous)  utility function.  Thus,  if continuity  is fulfilled  on  top  of the  basic  assumptions about preference relations (completeness, reflexivity and transitivity) we can conduct economic anal- ysis of consumer preferences as if the consumer uses a utility function. As a result, we can use utility maximization to study the consumer’s choices .

4. Problem - Marginal rate of substitution (16 points)

Let X = R be the set of all bundles of two goods. Denote by x1  and x2  the amounts of goods 1 and 2 contained in bundle x ∈ X . Consider the preference relation on X represented by the utility function u(x1 ,x2 ) = x1(0) .2

a) Calculate the marginal rate of substitution for good 1 in units of good 2.

b) Show that the marginal rate of substitution for good 1 in units of good 2 is decreasing.

c) In your own words, briefly explain the intuition behind a decreasing marginal rate of substitution.

d) To which of the general families of preference relations that we discussed in class does the one given in the question belong to?

e) Does the alternative utility function v(x1 ,x2 ) = x1(0) .4 x2(1) .6  represent the same preference relation? Please explain your answer.

a)  MRS = 0.25

b) = −0.25 < 0

c)  The  more I already have  of good 1,  the  less I am willing to give  up  of good 2 in  order to get one additional unit of good 1 .

d)  Cobb Douglas

e)   Yes, it does .  The alternative utility function is a transformation of the original utility function with the increasing function f(u) = u2   (u(x1 ,x2 ) ≥ 0 for all x ∈ X) . Such transformations of

the utility function are admissible because they do not affect the preference ordering of bundles .

5. Problem - The consumer’s choice problem (15 points)

Suppose the consumer is endowed with wealth w = 10 and the prices are p1  = 1 for good 1 and p2  = 2 for good 2.

a) Provide the mathematical definitions of the consumer’s budget set and budget line and explain the difference between the two in your own words.

b) Draw the consumer’s budget set and budget line. Make sure to include proper labeling such that I can distinguish the two. Furthermore, include axis labels and minimal grid information such that the location of vertical and horizontal intercept as well as the slope of the budget line can be concluded from your picture.

c) Suppose the price of good 1 increases such that the new price is given by p = 2. Sketch the new budget line in your drawing from b). Make sure to label the new budget line such that I can distinguish it from the initial one. Again, include any additional grid information such that I can conclude vertical and horizontal intercept as well as the slope of the new budget line from your picture.

a)  Budget  set:  B(p1   =  1,p2   =  2,w  =  10)  =  {(x1 ,x2 )  ∈ R : x1  + 2x2   ≤ 10},  budget  line: {(x1 ,x2 ) ∈ R : x1  + 2x2  = 10} While  the  budget set is  the  set  of all  bundles  the  consumer can afford, the  budget line is the set of all bundles that fully exhaust the consumer’s wealth.

b)  The budget line is a line with vertical intercept of 5, horizontal intercept of 10 and thus a slope of − .  The  budget set is the triangular surface  enclosed by the  budget line and the two  axes .

c)  The new budget line is  a line with vertical intercept of 5, horizontal intercept of 5 and thus  a slope of −1 .

6. Problem - Consumer demand (17 points)

Let X = R be the set of all bundles of two goods. Denote by x1 and x2 the amounts of goods 1 and 2 contained in bundle x ∈ X . Consider a consumer with budget set B(p1 ,p2 ,w) whose preference relation on X is represented by the utility function u(x1 ,x2 ) = min{x1 , 2x2 }.

a) Write down the consumer’s problem.

b) Derive the consumer’s demand function.

c) Are the consumer’s preferences differentiable? Provide an intuitive argument, you do not need to give a formal proof here.

d) At the consumer problem’s solution x∗ , do we have = ? Use the answer you provided for c) to explain.

e) Show whether good 1 is regular or Giffen for the consumer.

a)  max(x1 ,x2 )∈X min{x1 , 2x2 } subject to p1 x1 + p2 x2  ≤ w

b)  x∗ (p1 ,p2 ,w) = ( , )

c)  No,  they  are  not  differentiable .  The  indifference  curves  are  not  smooth,  in  particular  each indifference  curve  has  a  kink  located  at  the  bundle  in  which  the proportion  between  the  two goods is 2:1 .

d)  No . Since the consumer’s preferences are not differentiable, the MRS cannot be calculated using partial derivatives of u . In particular, that means we cannot calculate the slope of indifference curves in the usual way.  The solution to  the  consumer’s problem is  located at the kink of the corresponding indifference curve . At the kink, the slope of the indifference curve is actually not defined.  Therefore, we cannot find the solution to the consumer’s problem by equating slope of indifference curve and slope of budget line .

e) = − < 0