Q1 (Pricing Measure and Financial Calculus) (25 Marks)

1)  (15 marks) Consider a one-period securities model with three states (Oi ,i=1,2,3) in which one Arrow security e(Oi ) pays unit payoff when the state Oi occurs and zero payoff otherwise at time t=1, and it is priced with a pricing function F at t=0:

q(Oi ) = F(e(Oi )),i = 1,2,3 .

Now suppose that the securities model is complete and the law of one price holds.

Show that for a security (S) with the discount payoff at time t=1,

( a1  )

S (1) = a(a)3(2) )||| ,

its price at t=0 can be expressed as follows:

S(0) = xq(Oi )ai .

=1

2)  (10 marks) Let W(t) be the standard Brownian process. Show that

jT  W(t)dW(t) =  W(T)2    -  T  .

Q2 (Option Prices and Finite-Difference Methods) (25 Marks)

1)  (15 marks) Consider a binomial option model defined by the triple of (u, d, q) under the risk-neutral measure, where the parameters u and d present the jump- up/down size of stock price, and q indicates the jump-up (risk-neutral) probability of stock over the time interval of Δ . Work out the values of u, d and q so that the stock price S produces the first two moments:

E[] = er  and Var[] = e2r (e 2   1) ,

over the time interval of Δ in this model, where r and σ are constants.

2)   (10 marks)  Suppose that there exists a complete  set of European call  options, C0 (Ki , T) (i=1, 2, …, N) with a set of strike prices Kis and maturity T. These strike

prices are equally distributed with a price interval of ΔK. With this set of options,

apply the finite-difference methods to approximate the following derivative:

?2C0 (K,T)

?K2

Outline the key steps in the algorithm.

Q3 (Monte Carlo Simulation) (25 Marks)

Suppose that the stock price follows the process:

 = rdt + dWt , S(0) = S0 .

Now  suppose that a European option on the  stock (S), with  strike K and time to maturity T is tradable and its price at time 0 is expressed as follows：

C0 (K,T) = e rTEQ [(ST  K)+ ] ,

where r presents the continuously compounded annual risk-free rate.

Answer the following questions:

1)  (10 marks) Apply the Euler scheme to discretize the process of ln(S(t)).

2)  (15  marks)  Outline  a  Monte  Carlo  simulation  (algorithm)  to  the  option  price,

C0 (K, T) .

Q4 (Interest Rate Products and Modelling) (25 Marks)

1)  Suppose that a trader has agreed to pay 6-month LIBOR and receive 8% per annual (with semiannual compounding) on a notional principal of £100 million. The swap has a remaining life of 1.25 years. The LIBOR rates with continuous compounding for different maturities are as follows:

Maturity     Rate

3-Months     10.50%

9-Months     11.00%

15-Months   11.50%

The 6-month LIBOR rate at the last payment date was 10.60% (with semiannual compounding). The next payment will occur within 3 months.

Answer the following questions:

a)  (5 marks) Present the cash flows of the trader’s position in swap and timing in its remaining life.

b)  (10 marks) What is the value of this swap? Is it overvalued or undervalued?

2)  (10 marks) Consider the Cox-Ingersoll-Ross (CIR) model for the spot rate r(t):

dr(t) = a(b  r (t))dt +   dW (t)t , r (0) = r0

Outline a Monte Carlo simulation (algorithm) for the discretized process of r(t), based on the antithetic sampling method.