Q1 (Pricing Measure and Financial Calculus) (25 Marks)

1)  Consider a securities model with two risky securities and the risk-free security, and there are three possible states. The current discounted price vector is given:

S* (0) = (1,3,3)

and discounted payoff matrix at t=1 is given

S * (1) =         

Work out the liner pricing measure probabilities in this market. (10 marks)

2)  Suppose  that  the  stock  price  and  bank  account  follow  two  processes  under  a probability measure:

 = rdt +σdWt

dBt 

B

= rdt

Let Yt  = St / Bt . Prove that Yt is a martingale. (15 marks)

Q2 (Option Prices and Finite-Difference Methods) (25 Marks)

Suppose that the annual risk-free rate (r) is continuously compounded. Consider the time-zero pricing formula for a European call with strike price K and maturity T:

c0  = e− rT EQ [(ST − K)+ ]

Answer the following questions:

1)  Work out EQ [1ST >K ] (e.g., prob(ST>K)) and EQ [1ST =K ] (e.g., prob(1 ST=K)), where 1(.) is an indicator function, equal to 1 if ST=K and 0 otherwise.  (10 marks)

2)  Apply  the  finite-difference  methods  to  approximate  EQ [1ST >K ] and  EQ [1ST =K ] . Outline the key steps in the algorithm. (15 marks)

Q3 (Monte Carol Simulation) (25 Marks)

Suppose that the stock price follows the process:

 = rdt +σdWt , S(0) = S0

Answer the following questions:

1)  Let Y(t)=ln(S(t)). Work out the stock process for Y(t). (10 marks)

2)  Apply the Euler scheme to discretize the process of Y(t). (5 marks)

3)  Outline a Monte Carlo simulation (algorithm) to the discretized process of Y(t) by applying the control variate method to reduce the variance of simulated samples. (10 marks)

Q4(Interest Rate Products and Modelling) (25 Marks)

1)  Suppose that a bank has agreed to pay 6-month LIBOR and receive 8% per annual (with semiannual compounding) on a notional principal of $100 million. The swap has a remaining life of 1.25 years. The LIBOR rates with continuous compounding for  3-month,  9-month  and   15-month  maturities  are   10%,   10.5%  and   11%, respectively. The 6-month LIBOR rate at the last payment date was 10.2% (with semiannual   compounding).  The  next  payment  will   occur  within   3  months.

What is the value of this swap?  (15 marks)

2)  Consider the Vasicek model for the spot rate r(t):

dr(t) = a(b − r(t))dt +QdW(t)t , r(0) = r0

Outline a Monte Carlo simulation (algorithm) for the discretized process of r(t), based on the antithetic sampling method. (10 marks)

Q5(Portfolio Management) (25 Marks)

Consider the following information regarding the performance of a money manager in a recent month. The table represents the actual return of each sector of the manager’s portfolio in column  1, the fraction of the portfolio in column 2, the benchmark or neutral sector allocation in column 3, and the returns of sector indices in column 4:

Asset

Actual

Return

Actual

Weight

Benchmark

Weight

Index Return