1. Given a probability density function

fX,Y (x,y) =

then:

(a) show that A = 2; [3 marks]

(b) find the marginal probability density function of X; [4 marks]

(c) find the marginal probability density function of Y ; [4 marks]

(d) find the conditional probability density function of Y given X; [4 marks]

(e) find P(X + Y > 3 | X = 1); [5 marks]

2.  Let X and Y be independent random variables each with the same exponential distribution:  X ⇠ Y ⇠ Exp(λ) [remember that the cumulative distribution function of the exponential distribution is given by FX (x) = 1 − e −λx  for λ,x > 0].

(a)  Let U = X + Y . Show that the probability density function for U is given by

fU (u) =  [5 marks]

(b)  Let V = X − Y . Show that the cumulative distribution function for V is given by

FV (v) = (  [7 marks]

(c)  Let Z = X/Y . Define u = y and z = x/y and write down the determinant of the Jacobian of this bivariate transform. [4 marks]

(d)  Given

fU,Z (u,z) = fX,Y (uz,u)| − u|

for (u,v) such that fX,Y (uz,u) > 0 and zero elsewhere show that the probability density function

for Z is given by

fZ (z) = (

for z > 0

z < 0 [4 marks]

3. Let X be a discrete random variable with probability mass function given by

c 

P(X = k) =

for k = 0, 1, 2, 3, . . . , and 0 otherwise, where c > 0.  Let Y ⇠ Po(λ) be a Poisson random variable with probability mass function given by

λm e −λ

m!

for m = 0, 1, 2, . . . and 0 otherwise.

(a)  Show that c = e −1 . [3 marks]

(b) Assuming X and Y are independent write down the joint probability mass function. [3 marks]

(c)  Find P(X + Y = 2). [4 marks]

(d)  Let a random variable Z = X + Y .  By finding the probability mass function prove that X + Y ⇠ Po(λ +1). [5 marks]

(e)  Derive the conditional probability mass functions for X = k given Z = n (for k < n). [5 marks]

4. The joint probability density function of random variables X and Y is

fX,Y (x,y) = {

−1 < x < 1,    x2  < y < 1;

elsewhere.

(i)  Show that, for −1 < x < 1, the conditional density function of Y given X = x is fY |X (y | x) =  [5 marks]

(ii)  For −1 < x < 1, show that

E[Y | X = x] = (1 + x2 ). [5 marks]

(iii)  Hence, or otherwise, determine E[E[Y | X]]. [5 marks]

(iv)  For  −1  <  x  <  1,  calculate the conditional  moment generating function  (m.g.f.)   of Y  given X = x. By identifying the coeicient of t in the power series expansion of the m.g.f., verify that E[Y | X = x] =  (1 + x2 ). [5 marks]

5. Let W be a random variable with probability mass function (p.m.f.)

P(W = k) =                           k = 0, 1, ...;

where λ is a positive constant.

(i)  Show that the probability generating function of W is

PW (t) = exp{λ(t − 1)}    − 1 < t < 1. [5 marks]

(ii)  Let X1 ,X2 ...  be independent random variables, each with p.m.f.

P(X = k) = pqk−1           k = 1, 2 ....

where p and q are positive constants such that p + q = 1.

Show that the moment generating function (m.g.f) of X is

pet     

1 − qet [5 marks]

(iii)  Let Z = P1<i<W Xi  with W as defined in part (i), X1 ,X2 ...  as defined in part(ii) and Z = 0 when W = 0. Given that W,X1 ,X2 , . . .  are independent, show that the m.g.f. of Z is

MZ (t) = exp {  }        −1 < t < − log q . [5 marks]

(iv)  Hence, or otherwise, determine the mean of Z . [5 marks]

6. a) Given n ≥ 1 and independent random variables X1 ,X2 . . . ,Xn , each with cumulative distribution function (c.d.f) F(x):

(i) derive the c.d.f. of

Y = min{X1 ,X2 . . . ,Xn }; [5 marks]

(ii) determine the c.d.f. of Y when X1  has probability density function

f(x) = { λe0(−)λx

where λ is a positive constant.

0 < x < 1;

elsewhere; [5 marks]

b)

(i)  State the Central Limit Theorem. [3 marks]

(ii) The number of hits per minute on a certain website can be modelled by a Poisson random variable with probability mass function

P(X = k) =

k = 0, 1, ....