1.    Consider an electromagnetic plane-wave propagating from air into dry soil               (permittivity εr = 7, conductivity σ = 10-3 S/m and permeability μr = 1) as sketched    below. At z = 0 the plane-wave is E1   = 10 V/m. The frequency of the plane-wave is f = 2.6 MHz.

air

εr=1

pr=1

Find the total electromagnetic field (amplitude and phase of the total     electric and magnetic fields) at z = -50 m (air). Take the origin of spatial phase at z = 0.

Find the total electromagnetic field (amplitude and phase of the total electric and magnetic fields) at z = 50 m (dry soil). Take the origin of spatial phase at z = 0.

Define penetration/skin depth. What is the value of the penetration/skin

depth in dry soil? (Notice that dry soil is not a good conductor, and

therefore the approximated solution 6 = O山(2)o is not valid).

Find the average power dissipated in the volume of dry soil 1 m × 1 m × 50 m outlined in the sketch.

You may require the following:

 = 土   - j     r =

2.    Consider two infinite perfectly conducting parallel plates separated by a distance a as shown in the figure:

x

source free

(a)    Find kx and kz, as well as Hy, Ex and Ez of the electromagnetic field that results     [15]

from the superposition of 2 uniform plane waves travelling along the waveguide with an angle +θ and -θ with respect to the z-axis. The frequency of both plane waves is ω . The electromagnetic wave that propagates with an angle +θ with

respect to the z-axis has the following expression Hy  = H+ e一jk .r ejOt  , with

k = ksin9+ kcos9 .

(b)    Demonstrate that the superposition of these two plane waves satisfies

Helmholtz equation  2Hy  + k2Hy  = 0 and it is a particular solution of it with

k =入(2几) .

Section B

3.    

Briefly   list  the   advantages   and   disadvantages  of  microstrip   patch antennas.

Draw  a  diagram  depicting the  electric field  distribution for a  resonant microstrip  patch  antenna,  clearly  labelling  the  fields  corresponding  to radiating slots (apertures).

The design equations for a microstrip patch antenna of width,  , length,   , on a substrate of thickness,  , and relative dielectric constant,  , are:

where  is the effective length extension due to the fringing fields at a radiating edge of the antenna.

Assuming that the dominant  mode is excited, design a rectangular

microstrip patch antenna using RT/Duroid 5880 ( ,                       )

to resonate at 2.45 GHz, giving the patch dimensions to the nearest      .

Given that the half power beamwidths of the antenna designed in (c) in the E and H planes can be approximated by,

respectively  (all  remaining  symbols  have  their  usual  meaning),  estimate  its

directivity, in dBi, using Krauss’ approximation  .

Consider the perfectly conducting cylindrical dipole shown in Figure 4.1 below  for  the  case  when  a << H, 入,  i.e.  assuming  that  a ) 0 .  The boundary conditions pertinent to this dipole are:

1)   I(z = +H) = I(z = -H) = 0 , and

2)   Ez (z, p= a) = 0

Figure 4.1: A thin cylindrical perfectly conducting dipole .

Derive an ordinary differential equation for the non-zero magnetic vector potential on the surface of the dipole, starting from the solution which expresses  the  electric field  vector  in  terms  of the  electric  scalar  and magnetic    vector    potentials,    and    the    Lorenz    gauge    condition,

1  ?V

c2    ?t

State the general solution to the ordinary differential equation for the non-zero magnetic vector potential in (a) above for the case of time-harmonic fields and currents.

Explaining carefully all approximations involved, show that the z-directed component  of  the  magnetic  vector  potential  is  related  to  the  current flowing in the dipole by,  Az (z)如 I(z)Lav  , and derive an expression for the dipole’s average inductance per unit length, Lav , in integral form.

If the dipole  is centre-fed  using a  balanced transmission  line and the maximum current is  I0 , show that the current distribution  is given  by, Iz   = I0 sin kH ± z  ]    for  the  upper  and  lower  arms  of  the  dipole, respectively.