1.  (12 points) Use Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of f(x,y) = xy subject to the constraint 4x2 + y2  = 8.

2.  (12 points) Use Green’s Theorem to evaluate the line integral along the given positively

oriented curve

ZC 2x2y2 dx +3x3ydy

where C is the triangle with vertices (0, 0), (0, 2) and (2, 2).

3.  (12 points) Let C be the line segment from (0, 0) to (3, 4).

(a)  (6 points) Evaluate

ZC 3x + y ds.

(b)  (6 points) Let F(x,y) = hy2 ,y − 2xi. Evaluate

ZC F · dr.

4.  (12 points) Let

(x,y,z) = h2x + z3 e3y2 ,y +ln(4x2 +5), 3z + x2 i.

(a)  (3 points) Compute the divergence of the vector field  .

(b)  (9 points) Use the Divergence Theorem to compute ZZS   · dS~ outward through the

sphere S of radius 1 centered at the origin.

5.  Consider the triple integral                             

Z 1  Z^1−x2  Zy

(a)  (3 points) Let E be the region of integration for the above integral. Fill in the blanks of

the following sentence:  “The region E is inside the cylinder *blank* and bounded below by the plane *blank* and above by the plane *blank*.”

(b)  (4 points) Express           dV as an iterated triple integral in Cartesian coordinates with

(c)  (4 points) Express           dV in cylindrical coordinates.

E

(d)  (3 points) Compute           dV using any method.

E

6.  (12 points) Let S be the surface described by z =  ^x2 + y2  that lies between the planes z = 1 and z = 5.

(a)  (3 points) Let D be the region in the uv-plane so that

r~(u,v) = hucos(v),usin(v),ui with (u,v) in D

parametrizes S .  Sketch D .  Shade the region(s) that are part of D .  Use dotted lines when sketching a curve that is NOT in D, and solid lines when sketching curves that are.

(b)  (6 points) Compute r~u  ⇥ r~v .

(c)  (3 points) Compute the surface area of S .

7.  (12 points) Consider the vector field (x,y) = hyex ,ex + ey i.

(a)  (3 points) Show that  is conservative.

(b)  (5 points) Find a function f such that rf =  .

(c)  (4 points) Evaluate the integral ZC yex dx +(ex + ey )dy, where C is any path from (1, 2) to (3, 0).

8.  (14 points) Let C1  be the curve parameterized by r~1 (t) = h2,t +1,t2 − 2t +4i and let C2  be the curve parametrized by r~2 (t) = ht2 +2,t3 +2t +3, 4t +4i.

(a)  (5 points) The curves C1  and C2  intersect at a single point Q. Find Q.

(b)  (5 points) Find parametric equations for the tangent lines of C1  and C2  at Q.

(c)  (4 points) Are the tangent lines the same? Why or why not?