Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

ECON0029 Problem Set 2

This problem set is due on Friday 28 October 2022

For all problems: You may use all results and observations that were discussed in the lecture. You should not replicate the derivations unless the problems explicitly asks for it!

1.  Consider the Principal-Agent model with veriable eort. Assume that there is a single monopolistic employer who makes a  take-it-or-leave-it” offer to a potential employee. There are three possible outcomes x1  < x2  < x3  and two possible effort levels e1  < e2 . The probabilities of the outcomes for different effort levels are given by the following table, which also specifies values xi :

xi

pi (e1 )

pi (e2 )

x1  = 1

0.1

0.3

x2  = 4

0 8

0 1

x3  = 9

0.1

0.6

Assume that U = 1, v(e1 ) = 0.8, v(e2 ) = 1.2, and U (w) = ^w .

(a) Determine the optimal contract if the employer is risk-neutral.

(b)  Observe that the optimal contract involves the effort level that maximizes the ex- pected outcome E [xi ek ] net of the eort cost U 1 (U + vk ). Describe verbally, why this is the case.

(c) Now suppose both the principal and agent are risk-averse. Derive the optimal con- tract, assuming that B(x  w) = ^x  w and U (w) = ^w .  (Hint:  Start by using the risk-sharing conditions to determine w2(k)  and w3(k)  as a function of w 1(k) .)

(d) Explain verbally why the risk-averse principal proposes a different effort level than the risk-neutral principal in part (a).  (This is a bit harder, you should spend some time to think about this.)

2. Two farmers, Annie (A) and Bo (B), grow crop in the same valley.  The valley is occa- sionally flooded. If there is a ood (F) both their harvest is diminished. The probability that there is a ood is given by pF  = 1/2.  Denote the event that there is no ood with N ; the corresponding probability is pN  = 1/2.  The monetary value of their harvest in both events is represented in the following table of initial allocations.

 

Annie

Bo

Flood

wF(A)  = 1

wF(B)  = 4

No ood

wN(A)  = 36

wN(B)  = 44

Suppose that Annie’s Bernoulli utility function is given by UA (x) = ln(x) and Bo’s utility function is given by UB (x) = ln(x + b) with b > 0

(a) What type of information is present in this model? Explain! What are Annie’s and Bo’s risk preferences? Explain!

(b)  Set b  =  20.   Denote by xk(i)   the nal allocation after a risk sharing agreement of i = A, B in the event k = F, N .

i. Argue verbally why in all pareto-efficient risk sharing agreements the nal allo- cation must fulfil the feasibility constraint with equality.

ii. Taking this into account, set up the maximisation problem for nding the pareto optimal risk sharing agreements. Which observation follows from the rst order condition (FOC) of this problem? What does this tell us about the risk sharing agreements that are pareto optimal?

iii. Under which conditions are the FOCs also sufficient for a nal allocation to be pareto optimal?  [Hint: Revisit the relevant lecture slides]

iv. Derive the set of interior pareto-optimal nal risk sharing agreements.              For which interior values of xN(A)  exist interior values of xF(A), xF(B), xN(B)  that constitute a pareto optimal nal allocation?  Express all these allocations as functions of xN(A) .

Give one example of an pareto-optimal risk sharing agreement that is not inte- rior.

v. Now suppose that Bo can offer Annie a take-it-or-leave-it risk sharing agreement. What will Bo offer?

(c)  Suppose now that Annie sells her farm to a risk neutral player C who does not own any other elds.  Assume that after paying the purchase price to Annie he has no additional wealth. The sale happens after Bo and Annie signed the agreement with each other. Both the new owner of the farm and Bo are obliged to honour the initial agreement but are of course free to make additional risk sharing agreements.           What will be the resulting nal allocation: xF(B), xN(B), xF(C), xN(C)  if C makes the offer?

i. First, show that the resulting nal allocation is not interior.  [Hint:  Assume it is and show that this yields a contradiction to feasibility]

ii.  Give a rough intuition why the nal allocation if C makes the offer will exhibit, xF  = 5.

iii. Taking this into account derive the resulting nal allocation:  xF(B), xN(B), xF(C), xN(C)  if C makes the offer.

(d)  Suppose that Annie sold her land to a risk neutral company D but the company and Bo did not yet make any additional risk sharing agreements.  This means that the old risk sharing agreement that was initially made between Annie and Bo is still in place. At this point, a new dam building technology emerges. Bo who’s land is close to the river can build such a new dam. This would yield him disutility of v > 0. His utility if he gets crops of value x but has disutility from building the dam is given by

ln(20 + x) v .

The dam is reducing the probability of a ood.   When Bo builds the dam, the flooding probability is only pF  = 1/4; without a dam it remains at pF  = 1/2.          In contrast to (c) assume now that the company has many more elds and can in any event provide sufficient crops. This means that she can make risk sharing agreements where her value of crop can be negative.  Bo still can only get positive amounts of crop.

i. What is the optimal risk sharing agreement that this company can propose if she wants to induce that Bo does not build the dam?

ii. With only the old agreement in place and no new risk sharing with the company: Verify that in this situation Bo will build the dam if v ≤ v = ln(4)/4 ≈ 0.35.

iii.  Suppose that the company wants to induce Bo to build the dam. Formulate an incentive constraint that depends on xF(B)  and xN(B)  which motivates Bo, once he has entered the new risk sharing agreement to build the dam.

iv.  Suppose that the company wants to induce Bo to build the dam. Formulate the participation constraint that depends on xF(B)  and xN(B)  which makes sure that Bo accepts the new agreement.  [Use that 3/4 ln(88) + 1/4 ln(22) ≈ 4.13 and that 1/2 ln(88) + 1/2 ln(22) ≈ 3.78.

v.  Suppose that v = 1/10.  Characterise the risk sharing agreement that induces Bo to build the dam which is optimal for D.

vi.  Suppose that v = 1/10. What risk sharing agreement is D offering?