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ECON0029 Problem Set 1

This problem set is due on Friday 21 October 2022

For all problems: You may use all results and observations that were discussed in the lecture. You should not replicate the derivations unless the problems explicitly asks for it. If you use a result from the lecture, carefully explain why you can use it for the problem you are solving!

1.  (Lecture  1) Consider a decision maker  (DM) with strictly increasing Bernoulli utility function U (x) for x > 0.

(a) Derive for which of the following functions is the DM risk-averse, risk-neutral, or risk-loving:

i.  U (x) = ln x,

ii.  U (x) = ^x,

iii.  U (x) = a + bx, where b > 0,

iv.  U (x) =xa , where a < 1, and a 0,

v.  U (x) = x2 .

(b)  Suppose now that the Bernoulli utility function is U (x) = ^x. The DM has wealth w0  > 0 and owns a lottery ticket that pays e4 with probability p e (0, 1) and e25 with probability 1 _ p.

i. Derive the minimal price y that the DM is willing to accept to sell the lottery ticket.

ii. Verify that y is smaller than the expected value of the payment from lottery ticket if w0  = 0.

Show that this is also true for any w0  > 0. (Hint: use that U (.) is concave.)

iii. Explain verbally using the definition of risk-aversion on slide 17, why the DM is willing to accept less than the expected value of the lottery

2.  (Lecture 1) Suppose you own a flat worth w0  and face a risk of fire of p in any given year. In case of fire, your flat would only be worth wf . There are risk-neutral companies that offer fire insurance with premium rate q per insured amount a, so that you pay qa when you insure a.  You may choose any insured amount a up to full insurance, where full insurance means that a = w0 _ wf . (Note that in the lecture we only considered full insurance, now you can choose partial insurance as well!) Your Bernoulli utility function is U (w) = ln w .1

(a) Derive the optimal insured amount a as a function of q . First write down the lottery over final wealth and the expected utility for any possible insured amount a. Then maximize the expected utility.

(b) Derive the premium rate q that leads to zero expected profits for the insurance company.

(c) Determine the optimal insured amount if q is the actuarially fair premium rate.

(d) Verify that for a premium rate that exceeds the actuarially fair premium, partial or no insurance can be optimal, but full insurance is never optimal.

3.  (Lecture 1, Lecture 2 is useful for parts (c) and (d)) Anne and Bob are farmers in the same valley.  They grow crops that they sell on the market.  Bob owns the land close to the river at the bottom of the valley and Anne owns the land on the hillsides.  In rainy years, the total market value of the crops produced in the whole valley—that is, on Anne’s and Bob’s land combined—is higher than in dry years. Moreover, if it rains, Bob’s land always gets flooded and he loses his harvest completely, whereas in years without rain, only Bob’s land close to the river can be irrigated so that Anne has no harvest.

(a) Describe this situation formally as an example of risk-sharing between two indi- viduals, i.e., describe states of the world, allocations, initial allocations, lotteries, etc..

(b)  Suppose both Anne and Bob have Bernoulli utility functions U (x) = ^x.  Deter- mine all allocations that are ex-ante Pareto efficient and sketch them in a diagram. (Consider only interior allocations where all xi(k)  > 0, and use an Edgeworth box as in the lecture.)

(c)  Suppose Anne offers Bob a risk-sharing agreement.   (Let us assume that ancient customs dictate that the hillside owners in a valley have the right to make offers and the valley-bottom owners can only accept or reject.) Describe the lotteries for Anne and Bob that are implied by a risk-sharing agreement. Compute the agreement that Anne will propose assuming that the market value of the crops produced in the whole valley is 2 in rainy years and 1 in dry years. Where is this agreement represented in your diagram?

(d) Now assume that Anne has sold her land to a multinational farming company C . The company takes the role of Anne and proposes the risk-sharing agreement. The difference is that the company is risk-neutral, while Anne was risk-averse.  How do your answers in (b) and (c) change?  Does Bob benefit from facing the risk-neutral company instead of risk-averse Anne? Give an intuition for your answer to the last question.