I. Multiple Choice Questions.

x2 + 3x   

(A) 1.                                 (B) u3.                                 (C)  .                                 (D) 0.

北 → _3 x2 u x u 12

 

2. If the function f (x) =．,    0北 (et x(u) 4) dt ,   x  0   is continuous on (u-, -), then a = [     ]

(A) 3.                                 (B) u3.                                 (C) 1.                                 (D) u1.

3. If f is differentiable at x = c, then which of the following is NOT true?  [     ]

f (x) u f (c)                                                                                  f (c + h) u f (c)

北 →c       x u c                                                                                   h →0               h                     

(C)  lim                               = f/ (c).                                          (D)  lim                                       = f/ (c).

4. If f (x) = tan x , then f/ ( 4 ) = [     ]

x                    π

(A) 2.                             (B) 2 .                             (C) 1 u 2 .                             (D) 1 + 2 .

1                                             π                                              π

 

5.  Let the point P (u^3, y0 ) be on the graph of y = arctan x.  Find the equation of the tangent line to

the graph of y = arctan x at P .  [      ]

(A) y u π =  (x +^3).                                              (B) y u π = u  (x +^3).

(C) y + π =  (x +^3).                                              (D) y + π = u  (x +^3).

6. If y = x3 , then find the value of dy as x changes from 2 to 2.05.  [     ]

(A) 0.000125.                          (B) 0.62.                          (C) 0.60.                          (D) 0.61.

7. The minimum value of the function f (x) = x2 +北(16)  on [1, 4]is [     ]

(A) 17.                                 (B) 12.                                 (C) 20.                                 (D) 8.

8. If the graph of y = x3 + ax2 + bx u 4 has the inflection point (1, u6), what is the value of b?  [     ] (A) u3.                                  (B) 3.                                  (C) 1.                                  (D) 0.

9. Let f be a differentiable function and f// (x) < 0 for all real numbers x. Then [     ]

(A) f/ (1) > f/ (0) > f (1) u f (0).                                                (B) f/ (0) > f (1) u f (0) > f/ (1).

(C) f/ (1) > f (1) u f (0) > f/ (0).                                                 (D) f/ (0) > f/ (1) > f (1) u f (0).

尸

10.   lim (1 + 5e北 ) 达   = [     ] 北 →2

(A) 0.                                  (B) 1.                                  (C) e.                                  (D) e5 .

11. The velocity of an object is v = 9.8t + 5 which moves along a coordinate line. Its initial position is given by s(0) = 10. Then the position at time t is [     ] .

(A) s = 5t.    (B) s = 10.    (C) s = 4.9t2 + 5t + 10.    (D) s = 4.9t2 + 5t.

5                                      8                                                8                                                     8

12. Suppose that       f (x) dx = 3,       f (x) dx = 4 and       g(x) dx = 7. Then       ╱3f (x) + 2g(x)、dx = 2                                      5                                                2                                                     2

[     ]

(A) 23.                                (B) 26.                                (C) 35.                                (D) 42.

5

_5

(A) 2(e5 u 1).                        (B) e5 u e_5 .                        (C) 0.                        (D) e5 u 1.

π/2     cos θ    

0         ^1 + sin θ             

(A) 2.                       (B) 2^2.                       (C) 2(^2 u 1).                       (D) 2(^2 + 1).

2

北

15. If F (x) =         ^1 + t3  dt, then F\ (x) = [     ] 1

(A) ^1 + x3 .                (B) ^1 + x6 .                (C) 2x^1 + x3 .                (D) 2x^1 + x6 .

3^3         x3

0          ^9 + x2

(A) 27.                                (B) 45.                                (C) 18.                                (D) 36.

17. Find the length of the curve y = x  + 5 from x = 0 to x = 8.  [     ] (A)  .    (B)  .    (C)  + 40.    (D) 40.

18. Which of the following statements is TRUE? [     ]

(A) The function f (x) = ^x satisfies the hypotheses of the Mean Value Theorem on [0 , 2]. (B) If f\ (c) = f\\ (c) = 0, then f (c) is neither a maximum nor minimum value.

(C) The product of two increasing functions is an increasing function.

(D) Suppose that f (0) = 5 and that f\ (x) = 2 for all x. Then f (x) = 2x for all x.

1

19.       xe北  dx = [     ]

0

(A) e.                                (B) 2e u 1.                                (C) 1.                                (D) 0.

20. The particular solution of x  u y = x3  that satisfies y = 1 when x = 1 is [     ] (A) y = x3 + x.                                                         (B) y = x4 + x.

(C) y = u x4 ln x + x3 +  .                                    (D) y = x4 ln x u x3 +  .

II. Comprehensive problems.

21.   Let f (x) = x +^x2 + 2x.

(1) Find the natural domain of f .

(2) Determine where f is increasing and where f is decreasing.

(3) Find the range of f .

22. As shown in the Figure 1, the curve C is the graph of the function f (x) = 3/x and L is the tangent line to the curve C at x = a. The tangent line intersects the x-axis at the point A and y-axis at the point B .

(1) Find the equation for the tangent line L.

(2) Find the shortest length of the line segment AB .

 

Figure 1

23.   Let R be the region in the first quadrant enclosed by the graphs of f (x) = 8x3  and g(x) = sin(πx), as shown in the Figure 2.

(1) Find the area of R.

(2) Find the volume of the solid of revolution generated by revolving R about x-axis.

(3) Find the volume of the solid of revolution generated by revolving R about y-axis.

 

Figure 2