1.  [Algebraic perturbation theory] Use a regular perturbation expansion to o(92 ) to ap- proximate the roots of the equation 52 - 1 = 9eα , where 0 < 9 《 1.  Compare your results to numerical estimates.

2.  [Two-time asymptotics for the nonlinear pendulum] Consider the frictionless pen- dulum described by m¨+ sin m = 0, with m˙ (0) = 0 and m(0) = a. For sufficiently small a, this can be linearized and the solution is m(t) s a cos(t), which has frequency 1.  Show that a better approximation, applicable when the initial angle a is ‘kinda small’, is

m(t) s a cos –╱ 1 - 、t; .

Hence the frequency is a little less than 1, and gets smaller for bigger initial angle a. Question: is this a limit cycle?

HINT: Start with sin m s m - m3 /6, then rewrite the equation in terms of 6(t) = m(t)/a. Define 9 = a2 /6.  You’ll need a two-time expansion to avoid resonances.  At some point, you’ll need the identity cos3 (5) =   [cos(35) + 3 cos(5)].   Read my lecture notes, and/or Strogatz section 7.6 for background.

3.  [Chaos] A key feature of chaotic system is  “sensitive dependence on initial conditions”, meaning infinitessimal differences in the initial conditions will lead to wildly different tra- jectories.   Here you will demonstrate this numerically.   Write a program that computes two trajectories (solutions to the Lorenz63 system) from two nearby initial conditions, i.e. choose ∈(0) = ∈0 , and (0) = ∈0 + & (e.g. just add an arbitrarily small number to any or all of the components of ∈(0)0 ). Step the trajectories forward, and at each time, compute the “distance” between them, e(t) = |∈(t) - (t)|. Chaotic systems have exponential separation

of paths,

e(t) = e(0)e﹔t .

Plot ln[e(t)] and estimate the exponent 6 . This is a Lyapunov exponent of the system; if it’s positive, there is a time horizon beyond which the system state can no longer be predicted from the initial condition.

4.  [Heat equation solution] This is a multi-part problem intended to help fill in the gaps for the derivation of the solution to the heat equation.

Consider the concentration u(5, t) of some substance in one spatial dimension 5 as a function of time under the action of diffusion. For example, u could be the heat per unit length in a long metal rod, or the concentration of a dye per unit length in a long tube of fluid.  The evolution of the concentration is described by the partial differential equation (PDE)

atu = Daααu,    -& < 5 < &,    0 < t < &,                                 (1)

where D is the diffusivity. Solving the equation requires an initial condition

u(5, 0) = U(5),

and “boundary conditions” which specify the value of u (or its derivative) at two points in space. Now we’ll construct the “fundamental solution” to (1), which is the solution given an initial condition in which all the substance is piled up at 5 = 0, and the boundary conditions aαu → 0 as 5 → 士&.