Part I: True or False (3 marks for each question, 30 marks in total).

Answer True or False for each of the questions from 1 to 10. No justification is needed.

Question 1. If the matrices A and B satisfying AB = BA, then A and B must be square matrix of same size.

Question 2. If A and B are two nonsingular matrices of the same size, then A + B must be nonsingular and (A + B) − 1  = A − 1 + B − 1 .

Question 3. Let v1 , v2 and v3 are linearly dependent vectors, then v1 must be expressible as a linear combination of v2  and v3 .

Question 4. The solution set of a non-homogeneous system Ax = b can be expressed as the sum of a particular solution of this system Ax = b and the general solution of Ax = 0.

Question 5. Let A be an n × n, n > 3 matrix, then det(2A) = 2det(A).

Question 6. The set of vectors consisting of v1 , v2 , v3  and v4  is linearly independent, where

┌ 1┐             ┌ 2┐             ┌ 1┐             ┌ 1┐

v1  =  ''1(1)│' , v2  =  ''0(1)│' , v3  =  ''0(2)│' , v4  =  ''0(1)│' .

Question 7. If B is obtained from a matrix A by several elementary row operations, then rank(B) = rank(A). Question 8. The dimension of the column space of a matrix A equals to the dimension of its null space .       Question 9. Let A be an m × n matrix. If there exists an n × m matrix C such that CA = I| , then m > n.  Question 10. If λ is an eigenvalue of the square matrix A, then λ2 + 2 must be the eigenvalue of A2 + 2I .

Part II: Multiple Choice questions (3 marks for each question, 30 marks in total)

Please choose the best answer for each of the following questions.

Question 11.Which of the following matrices is a reduced echelon matrix? Answer            

A.   ┐│;       B.   ┐│;       C.   ┐│; ' 0   0    -2    1 '             ' 0   0    -2    1 '             ' 0   0    -2    1 '

Question 12. Which of the following homogeneous system of linear equations has nontrivial solutions ?

Answer            

| 3x1 + 5x2 - 4x3  = 0             |

|                                            |

3x1 + 5x2 - 4x3  = 0             |

|

6x1 + x2 - x3  = 0                 

3x1 + 5x2 - 4x3  = 0             |

|

|

3x1 + 5x2 - 4x3  = 0      -3x1 - 2x2 + 4x3  = 0  . 6x1 + x2 - 3x3  = 0

E. None of the above.

Question 13. Let

┌   1   ┐             ┌   5   ┐             ┌  -3  ┐

v1  =  ''  -(-)2(1) │' , v2  =  ''  -(-)7(4) │' , v3  =  ''   0(1)   '

For what value of α will the vector ϕ be in Span{v1 , v2 , v3 } ?

Answer            

┌  -4  ┐

and   ϕ =  '   3    │

A. 1;        B. 5;         C. 10;       D. 0.       E. None of the answers above.

Question 14.  Given the n × n matrix A, B and C, Which of the following statement is NOT always true ? Answer            

A. A + B = B + A;

B. (A + B)T  = AT + BT ;

C. A(B + C) = AB + AC;

D. AB = BA;

E. None of the answers above, i.e. all the answers above are correct.

Question 15. Let A and B be nonsingular square matrices of the same size. Which of the following statement is NOT always true ? Answer            

A. det((AB)T ) = det(AB);

B. det(AB) = det(A)det(B);

C. det(A + B) = det(A) + det(B);

D. det((AB) − 1 ) =  ;

E. None of the answers above, i. e. all the statements above are true.

Question 16. Suppose

│    │ = 7.

Which of the following determinant  is not 7? Answer            

A. │ a  d   b  e   c  f  │;        B. 6(1)  │ 2 d   2b e   2c f  │;         C. │    │;

D.  │ a 2d   b 2e   c 2f  │;        E.  │ a 2d   b  2e   c 2f  │ .

Question 17 Which of the following statement is NOT always true ? Answer            

A. If A is an m × n matrix and the equation Ax = b is consistent for some b, then the columns of A span Rm .

B. If linear system Ax = b has distinct solutions, then so does the linear system Ax = 0.

C. If A is an m × n matrix, and Ax = b has distinct solutions. If Ax = c is consistent, then the linear system Ax = c has distinct solutions.

D. If A is a nonsingular matrix, then columns of A are linearly independent.

E. None of the answers above, i.e. all the statements above are true.

Question 18. Which of the following statement is NOT always true ? Answer            

A. If A is a square matrix and the equation Ax = 0 has only the trivial solution, then A is row equivalent to the n × n identity matrix.

B. If the equation Ax = b has more than one solution, then Ax = 0 has infinite many solutions.

C. If A is an n × n matrix, then the equation Ax = b has at least one solution for each b e R| .

D. If AT  is not invertible, then A must be not invertible.

E. If A and B are n × n nonsingular matrices, then AB is invertible.

Question 19. Determine the value of c such that the vectors v1 , v2  and v3  are linearly dependent, where

v1  =  ┌'1(c)┐│           ┌'c(1)┐│           ┌'1(1)┐│

Answer            

A. c = 1;

B. c = -2;

C. c = 1 or c = -2;

D. c = -1 or c = 2;

E. None of the answers above

Question 20.

Find all the values of a and b such that the following linear system has no solution?

| ax1 + x2 + x3  = 4

  x1 + bx2 + x3  = 3

│  x1 + 2bx2 + x3  = 4

Answer            

A. a = 1;

B. b = 0;

C. a = 1 or b = 0;

D. a = 1 and b  , or b = 0;

E. None of the answers above

Part III: Blank filling questions (3 marks for each question, 18 marks in total)

Question 21. Given the matrix A =  ┐ and B =  ┌''   -121┐│', then A + BT  =            .

Question 22. Let u =  ┌''2(1) ┐│' and v =  ┌''   4(1)   ┐│'. Then (uvT )10  =            .

| 2x1 - x2 - x3  = 4

Question 23. Solve the linear system and find the solution    3x1 + 4x2 - 2x3  = 11

│  3x1  - 2x2 + 4x3  = 11

The solution is x =            .

Question 24. Given A =  ┐│

3     2     1

Then the determinant of matrix A: det(A) =            .

Question 26. Find the dimension of the vector space spanned by the vectors v1 , v2  and v3 ,

where v1  =  ┌'''12-1┐│││, v2  =  ┌'''1┐│││, v3  =  ┌'''--24(2)┐│││ .

'    '           '     '           '    '

Answer            .

Part IV: Comprehensive Questions (11 marks for each question, 22 marks in total)

Please write down your solutions with detailed justifications.

Question 27.  (11 marks)

Consider the matrix

A =   ┐│

' 3   4      5    6 ' .

1.  Find the reduced echelon form for the matrix A.

2.  Find a basis for N(A) (the null space of A) and the dimension of N(A).

3.  Find the dimension of the column space of A and the row space of A.

4.  Give a reason why the dimension of the row space equals to the dimension of the column space.

Question 28.  (11 marks)

Given the vectors v1  =  ┌'2(3) ┐│           ┌'  -01 ┐│                  ┌'  -(-)2(2) ┐│ and let A = [v1    v2    v3].

1.  Prove that the two vectors v1  and v2  are linearly independent.

2.  Prove that the matrix A is singular (not invertible).

3.  Find all the eigenvalues and the corresponding eigenvectors for each eigenvalue.

4.  Prove that the any two eigenvectors belonging to distinct eigenvalues are linearly independent for a square matrix A.

5.  Prove that the any three eigenvectors belonging to distinct eigenvalues are linearly independent for a square matrix A.