Question 1

a) Using the permanent income hypothesis in a two-period setting, derive the perma- nent income (fixed consumption) for a consumer that will receive a stimulus check in the first period. Which factors will determine when/how this check will be spent?

A1 + C1  = Y1 − T1 + (1 + T)A0 + m

C2  = Y2 − T2 + (1 + T)[Y1 − T1 + (1 + T)A0 + m − C1]

= Y2 − T2 + (1 + T)[Y1 − T1 + (1 + T)A0 + m] − (1 + T)C1

Since consumption is fixed, C1  = C2  = C

Y2 − T2 + (1 + T)[Y1 − T1 + (1 + T)A0 + m]

2 + T

The interest rate T, the stimulus check m, the taxes T1 ,T2 will influences the consumption

.

b) What would happen to your response in a) if the interest rate is expected to increase in the future

We can calculated the partial derivative of consumption C w.r.t.  interest rate T and stimulus check m.

?C       [Y1 − T1 + (1 + T)A0 + m + A0 (1 + T)](2 + T) − (1 + T)[Y1 − T1 + (1 + T)A0 + m] − Y2 + T2

?T                                                                        (2 + T)2

Y1 − T1 + (1 + T)A0 + m + A0 (1 + T)(2 + T) − Y2 + T2

(2 + T)2

Since C1   =  C2   =  C, we can substitute the C1  in the period 1 budget constraint with equation of C2 .

A1 + C1  = A1 + C2  = A1 + Y2 − T2 + (1 + T)A1  = Y1 − T1 + (1 + T)A0 + m

⇒ Y1 − T1 + (1 + T)A0 + m − Y2 + T2  = A1 (2 + T)

?C       A1 (2 + T) + A0 (1 + T)(2 + T)      A1 + A0 (1 + T)

?T                       (2 + T)2                                              2 + T

?C       1 + T                1   

?m     2 + T            2 + T

So, when we increase the interest there is direct effects that increases our consumption, and there is an indirect effect where an increase in interest rate will increase the marginal consumption on stimulus check that increases the consumption.

Question 2

Suppose an individual lives for two periods and has utility lnC1  + lnC2 .

a) Suppose the individual has labor income of Y1  in the first period of life and zero in the second period. Second-period consumption is thus (1 + T)(Y1  − C1); r, the rate of return, is potentially  random.

i) Find the first-order condition for the individual’s choice of C1 .

The real interest rate is potentially random, so let T = E[T] + e where e is a mean-zero random error. Then the individual solves the following optimization problem:

max lnC1  + E[lnC2 ]  s. t. C2  = (1 + T)(Y1  − C1)

C 1,C2

Plug in C2  and take F.O.C with respect to C1 yields

1                         (1 + E[T] + e)

C1                      (1 + E[T] + e)(Y1  − C1)

Which means

 = E [] =

ii) Suppose r changes from being certain to being uncertain, without any change in E[r]. How, if at all, does C1 respond to this change?

From the derivation in i), we can see that the optimal first period consumption is independent to interest rate r. That is C1  =  . Even if r is random, the individual simply

consumes half of first-period income and saves the rest.

b) Suppose the individual has labor income of zero in the first period and Y2  in the second. Second-period consumption is thus Y2  − (1 + T)C1 . Y2  is certain, again, r may be random.

i) Find the first-order condition for the individual’s choice of C1 .

In this case, we have the individual borrows money in period 1 and pay the interest in period 2. Thus, the optimization problem for the consumer is

max lnC1  + E[lnC2 ]  s. t. C2  = Y2  − (1 + T)C1

C 1,C2

Plug in C2 with C1  and r, taking F.O.C w.r.t C1 , we have

 =  − E[(1 + E[T] + e) ∗ ] = 0

Use the expectation formula for product terms (E[XY]=E[X]E[Y]+cov(X,Y)), we have

1/C1  = (1 + E[T])E [] + cov(1 + E[T] + e, )

The covariance term is positive. Intuitively, a higher e means the individual has to pay more interest on her borrowing which forces her to have lower C2  and thus higher       marginal utility at period 2.

ii) Suppose r changes from being certain to being uncertain, without any change in E[r]. How, if at all, does C1 respond to this change?

If r is not random - so that T = E[T] with certainty – we can rewrite the FOC as

 = (1 + E[T]) () =

⇒ Y2  − (1 + E[T])C1  = (1 + E[T])C1

⇒ C1  =

In the case where r is random, we have

1/C1  = (1 + E[T])E [] + cov(1 + E[T] + e, )

Since 1/C2 is a convex function of C2 , then by Jensen’s inequality we have E[1/C2] > 1/E[C2], together with the positive covariance term, we have

1/C1  > (1 + E[T])[]

Plug in E[C2] = Y2  − (1 + E[T])C1 , we have

1/C1  > (1 + E[T])[]

⇒ Y2  − (1 + E[T])C1  > (1 + E[T])C1

⇒ C1  <

Note that the right-hand side of the last inequality is the optimal choice of first period       consumption under certainty. Thus, we have shown that if r becomes random with no       change in the expected value of r, the optimal choice of C1 becomes smaller. Essentially,  if there is some uncertainty about how much interest the individual will have to pay in the second period, she is more cautious in her decision as to how much to borrow and             consume in the first period.

Question 3

a) According to the Mortensen-Pissarides Model and assuming that Vv  = 0, prove that w = Y.

Workers utilities are

u(t) =〈

Firms profits are

π =〈                                      .

'(−c                 if vacant

E˙ = M(u,v) − bE, and in the steady state, we have E˙ = 0,M(u,v) = bE. For the workers, we have

rVE  = w − b(VE  − Vu ),    rVu  = a(Ve − Vu )

w     

⇒ VE  − Vu  =

For the firms, we have

rVF  = Y − w − c − bVF ,    0 = −c + αVF

Y − w  

⇒ VF  =

Since we have equal bargaining

w            Y − w                     a + b + r     

a + b + r     α + b + r              α + a + 2b + 2r

b) Assume that a > α .  Show who (worker or employer) keeps a higher share of the output.

If a > α, workers keep

a + b + r               α + b + r     

α + a + 2b + 2r     α + a + 2b + 2r

Since a ≡  >  ≡ α . Labors have higher bargaining power as they can find jobs faster.