Consider an economy that operates under competitive markets and meets the assumptions of the Solow model. The production function is Cobb-Douglas:

Y = F (K, AL) = Kα (AL)1_α , 0 < α < 1

(a)[5pt] Show that this production function is constant returns to scale

Answer: Let c > 0, Ac we have:

F (cK, AcL) = (cK)α (AcL)1_α  = cKα (AL)1_α  = cF (K, AL)

(b)[5pt] Derive the production function in per capita terms

Answer:

 =  = A1_α k α  whereas k =

(c)[5pt] Derive the production function in per effective units of labor

Answer:

 =  = F ( , 1) = f () = α  whereas  =

(d)[5pt] Calculate the competitive wage and express it in terms of capital stock per effective units of labor

Answer:

1. Solve it directly

w = FL  = A1_α Kα (1 - α)L_α  = (1 - α)Aα

2. Solve it by Euler Theorem

By Euler Theorem, we have KFK + ALFAL  = F

By Chain Rule, we have

 =   = A 

Replace  in Euler Theorem, we can rewrite as

KFK + LFL  = F

Then rearrange equation (1) by moving FL  to the left hand side

w = FL  =

= Af () - A f\ ( )

= A α - A α α _1

= (1 - α)Aα

(e)[5pt] Calculate the competitive rental rate on capital using the production function from c), assuming no capital depreciation.

Answer:

r = Fk  = f\ ( ) = α α _1

(f)[10pt] It is known that less developed countries have a low capital to labor ration, while industrialized countries have a high ratio. Assuming that technology is fixed, interpret your answer to (d) and (e) for each case of country

Answer: If A is fixed, we have that kH  > kL ,, and so H  > L

rH  = α H(α)_1  < α L(α) _1  = rL

wH  = A(1 - α)H(α)  > A(1 - α)L(α)  = wL

The rental rate of capital is higher in developing countries than developed countries while labor wage rate is higher in developed countries than in developing countries. This is because of the relative scarcity between capital and labor, in developed countries, labor is relatively scarcer than capital than in developing countries.

Question 2

Consider the production function F = K0.5 L0.5   (technology is normalized at 1).  Suppose that the savings rate is 0.4, the depreciation rate, δ, equals 0.05, and population growth, n, is 0.05.

(a)[5pt] Show that the production function exhibits constant returns to scale

Answer:

F (cK, cL) = (cK)0.5 (cL)1_0.5  = cK0.5 L1_0.5  = cF (K, L)

(b)[5pt] Derive the per-worker production function y = f(k)

Answer:

F () =  = ( )0.5  = k0.5

(c)[5pt] Solve for the steady-state level of capital per worker

Answer:

In steady state, we have new investment equals to break-even investment, which means the new investment makes up for depreciated capital and capital dilution by population growth.

sks(0)s(.)5  = (δ + n)kss

0.4ks(0)s(.)5  = 0.1kss

kss  = 16

(d)[5pt] Solve for the steady-state output per worker

Answer:

yss  = f(kss ) = ks(0)s(.)5  = 160.5  = 4

(e)[5pt] Solve for the steady-state consumption and investment level

Answer:

css  = yss - syss  = (1 - s)yss  = 0.6 × 4 = 2.4

iss  = s × yss  = 1.6

Now assume that the savings rate is not fixed:

(f)[5pt] Solve for the Golden-Rule level of capital per worker and the associated consumption level

Answer:  Based on steady state, we have skα  = (n + 6)k, by rearrangement, we rewrite savings rate and consumption in terms of capital as

s = (n + 6)k1_α

c = (1 - s)kα  = k α - (n + 6)k

To maximize consumption, we take derivates with respect to k

 = αk - (n + 6) = 0

kGR  = ( )  = 25

cGR  = kG(α)R  - (n + 6)kGR  = 2.5

(g)[5pt] Solve for the savings rate that allows for the golden rule level of capital in the steady state

Answer:

s(k)GR  = (n + 6)kGR(1_α)  = 0.5

Question 3

Describe how, if at all, each of the following developments affects the breakeven and actual       investment lines in our basic diagram (Graphical Representation in Solow lecture) for the Solow model (and draw the corresponding changes):

(a) [10pt] The rate of depreciation falls.

(b) [10pt] The rate of technological progress rises.

(c) [10pt] Workers exert more effort, so that output per unit of effective labor for a given value of capital per unit of effective labor is higher than before.