Problem 1 (25 points)

You’re a new financial analyst at a major investment house, tracking and forecasting earnings of the health care industry. At the end of each quarter, you forecast industry earnings for the same quarter of next year. That is, using the data of Q1 2022 predict the data of Q1 2023. Experience has revealed that your clients care about your forecast accuracy – that is, they want small errors – but that they are not particularly concerned with the sign of your error.  (Your clients use your forecast to help allocate their portfolios, and if your forecast is way off, they lose money, regardless of whether you’re too optimistic or too pessimistic.) Your immediate predecessor has bequeathed to you a forecasting model in which current earnings (y) are explained by one variable lagged by one year (x).

(1) What is your forecast horizon of interest?  (5 points)

(2)  Suppose the first period is t = 1 and the present is t = T, write the information set ΩT  that is relevant for your forecasting model.  (5 points)

(3) Which loss function(s) would you choose,  Quadratic,  Absolute,  or Linlin?   Explain your answers.  [hint: you should choose all appropriate loss functions.  Probably more than one]. (10 points)

(4)  Under the loss function you choose in part (3), what is the optimal forecast?  The optimal forecast is defined as the forecast with smallest conditionally expected loss.  (5 points)

Problem 2 (45 points)

The Department of Economics is interested in what linear regression equation best predicts Econo- metrics performance, based on math scores. That is, the following regression is of interest

yi  = β0 + β1 xi + ui                                                                                        (1)

where xi  is the score on the math test and yi  is the Econometrics grade. Last year, six randomly selected students took a math test before they began their Econometrics course. In the table below, the xi  column shows scores on the math test. Similarly, the yi  column shows Econometrics grades.

(1)  For all parameters in Equation (1), please specify whether they are observable and whether they are predictable.  (5 points)

(2)  Derive the formula of βˆ1 . Please include all the math process to receive the full credits.  (10 points)

(3)  Calculate the OLS estimates (βˆ0 , βˆ1 ) keeping three decimals.  (10 points)

(4)  Calculate the R2  and adjusted R2 .  (20 points)

Problem 3 (30 points)

Now, the Department of Economics would like to answer the question that if a student made an 90 on the math test, what grade we would expect her to make in Econometrics. Answer the following questions based on the regression analysis from Problem 2.

(1)  Calculate the standard error of the regression, denote it as s [hint: use SSR from the process of calculating R2  in Problem 2.4]. Keep 3 decimals. (5 points)

(2)  A simple point forecast can be obtained by evaluating the conditional expectation at chosen value. Based on your answer in Problem 2.3, construct a feasible point forecast for a student who made an 93 on the math test.

For 3.3 and 3.4, we assume ui  in Equation (1) follows N(0,σ2 ).

(3)  Construct simple feasible, i.e., non-simulation based, density and 99% interval forecast for the student with 93 math test score.  [Hint: you need to write the distribution of the density forecast and replace the unknown parameters with estimates.]  (10 points)

(4)  Re-do 3.3 when a student of math score is 89. Now, construct the 95% interval forecast.  (10 points)