Problem I: Lag Operator Expressions I

Rewrite the following lag operator expressions to a form without using the lag operator.

a. (Lτ )yt  = ϵt

b. yt  = ( ) ϵt

c. yt  = 2 (1 + ) ϵt

Problem II: Lag Operator Expressions II

Rewrite the following expressions in lag operator form.

a. yt + yt − 1 + ... + yt −N  = α + ϵt + ϵt − 1 + ... + ϵt −N , where α is a constant.

b. yt  = ϵt −2 + ϵt − 1 + ϵt

Problem III: Autocorrelation Functions of Covariance Stationary Series

While interviewing at a top investment bank, your interviewer is impressed by the fact that you have taken a course on time series forecasting. She decides to test your knowledge of the autocovariance structure of covariance stationary series and lists five autocovariance func- tions:

a. γ(t,τ) = α

b. γ(t,τ) = e −ατ

c. γ(t,τ) = ατ

d. γ(t,τ) =  ,

where α is a positive constant.  Which autocovariance function(s) are consistent with co- variance stationarity, and which are not? Why?

Problem IV: Autocorrelation vs.   Partial Autocorrela- tion

Describe the difference between autocorrelations and partial autocorrelations. How can au- tocorrelations at certain displacements be positive while the partial autocorrelations at those same displacements are negative?

Problem V: Conditional and Unconditional Means

As head of sales of the leading technology and innovation magazine publisher TECCIT, your bonus is dependent on the firm’s revenue.  Revenue changes from season to season, as subscriptions and advertizing deals are entered or renewed.  From your experience in the publishing business you know that the revenue in a season is a function of the number of magazines sold in the previous season and can be described as yt  = 1000 + 0.9xt − 1 + et  with uncorrelated residuals et  ∼ N(0, 1000) where y is revenue and x is number of magazines sold.

a.  What is the expected revenue for next season conditional upon total sales of 6,340 this season?

b. What is unconditionally expected revenue if unconditionally expected sales are 8,500?

c.   A rival publisher offers you a contract identical to your current contract  (same base pay and bonus).   Based upon a confidential interview, you know that the same revenue model with identical coefficients is appropriate for your rival. The rival has sold an average of 9,000 magazines in previous seasons but only 5,650 this season. Will you accept the offer? Why or why not?

Problem VI: White Noise Residuals

You work for a top five consulting firm and are asked to join a team evaluating a turnaround project at Stardust Cinemas.  You are briefed that despite its bad financial condition, the CEO attempted to increase Stardust’s market share by renovating every theater to include a bar, an arcade, and a restaurant. Your task on the team is to assess whether the renovations increased box office receipts.  To do so, you spend a long night fitting a trend + seasonal model to samples of T = 100 observations on box office receipts for each of Stardust’s the- aters. You find that the residuals (e) from your models approximately follow et  = 0.5et − 1 +vt , where vt  N(0, 1). You forward your results to your project manager.