1. Compute the following limits. Do NOT use L’hpital’s Rule.

(a)

r3 − 4r2   

r →4 r2 − 2r − 8

(b)

^4x6 + 10

x → 一&     5 + 4x3

(c)

lim ^x − 3

2. Compute the following limits. You may use L’hpital’s Rule.

(a)

sin x − x

x →0        x3

(b)

lim  sin(x) ln(x)

x →0＋

(c)

lim  ′x2 + 1╱3/x

3. Use the limit definition of the derivative to compute the derivative of f(x) = 3 + 2/x. (x  0)

4. A curve in the plane is given by the following equation

x2 + 2xy + 3y2 = 4

(a) Find an expression for  using implicit differentiation.

(b) Find the equation of the tangent line to the curve at the point (2, 0).

(c) Find the two points on the curve where the tangent line is horizontal.

5. Find the derivative of

f(x) = (ln x)7x ,   x > 1

Find an equation of the tangent line to f(x) at x = e.

6. Let f(x) = 3x2/3 − x.           (a) Find all critical points.

(b) For each critical point, determine if it is a local max, a local min, or neither.

(c) Does the Mean Value Theorem apply to the function f on the interval [−1, 27]?

(d) Find all points c in (−1, 27) where the instantaneous rate of change of f at c is equal to the average rate of change of f on [−1, 27].

7. Water is being pumped into an inverted conical tank at a constant rate of 1000π cubic cen- timeters per minute. The tank has a height of 300cm and a diameter of 200cm. [Note that the volume of a cone with height H and radius R is πR2 H]

How fast is the water level rising when the height of the water in the tank is 50cm?

8. Graph a function with the following properties:

1. f is continuous on (−&, −4) / (−4, &).

2. f(−6) = 20, f(0) = 20, f(6) = 0

3. limx → 一4一 f(x) = &

4. limx → 一4＋  f(x) = −&

5. limx →& f(x) = −40

6. limx → 一& f(x) = 10

7. f / (x) < 0 for x in (0, &)

8. f / (x) > 0 for x in (−&, −4) / (−4, 0)

9 f// (x) < 0 for x in (−4, 6)

10. f // (x) > 0 for x in (−&, −4) / (6, &) y 

                                         0                                                

9. The graph below represents the velocity v(t) at time t of an object moving in a straight line. in m/s

3

2

1

0

−1

−2

(a) Use this graph to complete the following table specifying the location s(t) of the object at time t.

(b) Determine the displacement of the object during the time interval [0, 8].

(c) Determine the distance that the object travels during the time interval [0, 8].

10. Consider the following sum

 +  +  + . . . +

(a) Find a definite integral la(b) f(x) dx for which the above sum is a right Riemann sum.

(b) Using the answer from part (a), find the limit of the above sum as n 广 &.

11. Evaluate the following integrals.

(a)

(b)

l  dx

(c)

l0(π)   ↓ │ dt

12.  Let

G(x) =  lx(4)2  du

(a) Find G\ (2)

(b) Find the equation of the tangent line to the graph of G(x) at x = 2.

13. Suppose that f(x) is continuous and differentiable everywhere. Below is a table of values for f(x) and f\ (x).

Compute the following values.

(a) Let g(x) = (x + f(x)) sin x. Find g\ (π).

(b) Let h(x) = f(tan一1 x). Find h\ (1).

(c) Let H(x) = tan一1 (f(x)). Find H\ (π).

(d)

l0(1) sin(f(x)) f \ (x) dx

(e)

l0(π/)2 f \ (cos(x)) sin(x) dx

14. Consider the following piecewise function (c is some constant)

f(x) = ．   2(x)x

(a) What is the domain of f(x)?

for x ≥ 3

for − 5 k x < 3

for x < −5

(b) Determine whether f(x) is continuous at x = 3.

(c) For which value of c does the limit limx → 一5 f(x) exist?

15. Use the linear approximation of f(x) =^3x at a = 27 to approximate ^328.

16. Let f(x) = 2x + ex . Note that f(x) is an one-to-one function and that f(1) = 2 + e. Find

(2 + e).

dx

17.  Let

x    

f(x) =

(b) Where is f(x) concave up and where is it concave down?

(c) Find all local maxima and local minima of f(x).

(d) Find all inflection points of f(x).

(e) Find all horizontal asymptotes of f(x).