Problem 1 (10 points)

A user has four cell phones, some of them in location A and the   others in location B. The user moves between A and B and takes    one of the phones only if he takes a taxi to change his location, but does not take a phone if he takes his car. Let p be the probability that the user takes a taxi.

1. Find the probability that no phone is available to him when he changes location.

2. For a value of p = 0.6, find the number of phones that would be required for the probability of not having a phone available when the user changes location to be less than 0.1.

Problem 2 (10 points)

A game starts with 3 coins in a box. At each turn the number of coins in the box is counted and the following procedure is repeated k times:

A fair die is thrown, and depending on the outcome one of the following four things can happen:

•   If the outcome is 1 or 2 the player takes 1 coin from the box.

•   If the outcome is 3 no action is taken.

•   If the outcome is 4 the player puts 1 coin in the box (assume that the player has an unlimited supply of coins).

•   If the outcome is 5 or 6, the player puts 2 coins in the box.

Whenever the box is empty, the game stops.

1. Compute the expected number of coins in the box after turn n

2. Compute the probability that the game will stop eventually.

Problem 3 (10 points)

Given a binomial random variable K with probability of success p and n trials:

It is known that for E(K) not very small or very large the  distribution can be approximated by a Gaussian distribution.

It is also known that for E(K) small the distribution can be approximated by a Poisson distribution.

1. Compare the Binomial and Poisson distributions for equal expected values and for k=3, n=100 and p=0.05. and for k=40, n=100 and p=0.45. For these values of the parameters compute the percent difference between the two distributions.

2. Compare the Binomial and Gaussian distributions for equal expected values and variances for k=40, n=100 and p=0.45. For these values of the parameters compute the percent difference

between the two distributions.

Problem 4 (5 points)

Let X(t) be a zero mean wide sense stationary continuous time

random process with autocorrelation function

R(τ) = μ exp (-λ|τ |) for −∞ < T < ∞ .

Let X(t) be the input to a linear time-invariant filter with impulse response h(t).

Find the expected value of the instantaneous power in the output process at time t.

Problem 5 (10 points)

A signal X(t) with power spectral density S(w) = 2aP/(w2 + a2 )  and additive noise N(t) with one-sided power spectral density N0 are passed through a filter with frequency response H(w) = A/(jw + b).

1. Find the signal power and noise power at the filter output.

2. Find the filter coefficients A and b that maximize the signal- to-noise ratio.

Problem 6 (15 points)

Consider a communication link with a constant rate of 4.8kbit/sec. Over the link we transmit two types of messages,   both of exponentially distributed size. Messages arrive in a    Poisson fashion with λ = 10 messages/second. With probability   0.5 (independent from previous arrivals) the arriving message is of type 1 and has a mean length of 300 bits. Otherwise a message of type 2 arrives with a mean length of 150 bits. The buffer at the link can at most hold one message of type 1 or two messages of type 2. A message being transmitted still takes a place in   the buffer.

1. Determine the mean and the coefficient of variation of the service time of a randomly chosen arriving message.

2. Determine the average times in the system for accepted messages of type 1 and 2.

3. Determine the message blocking probabilities for messages of type 1 and 2.

Problem 7 (10 points)

Consider a two-state Markov chain with transition probabilities p12 = p and p21  = q. Assume q is fixed but the value of p can be selected from the interval (0,1). Also assume a payoff of r units every time we visit state 2 and a cost of p every time we visit state 1.

1. Compute the long-term payoff per time step as a function of p and q.

2. Find the value of p that maximizes the payoff.

Problem 8 (10 points)

Let N = (0, 1, 2, …) be the random variable equal to the total number of messages in two M/M/1 queuing systems, each of which operates independently with Poisson input rates λ1 and λ2  and exponential service rates μ1 and μ2, respectively.

1. Determine the steady-state probability of n messages in the system as a whole, for n = 0, 1, 2, … .

2. Determine the expected value E{N} of the number of messages in the system as a whole.

Problem 9 (10 points)

Let the arrival of messages into an infinite buffer be Poisson distributed with average arrival rate 1/(n+1), where n is the  buffer occupancy at the time of an arrival. Assume the messages are exponentially distributed.

1. Determine the probability distribution of buffer occupancy.

2. Find the average buffer occupancy.

Problem 10 (20 points)

In an M/M/1 queuing system the average message length is 128 bytes and messages arrive at an average of 7500 per hour. The channel capacity is 4800 bits per second.

a) Find the probability that the buffer is empty.

b) Find the average number of messages in the buffer.

c) Find the average message service time

d) Find the average queuing delay exclusive of service time.

Problem 11 (10 points)

1. Show that the departure process from an M/M/1 queue is a Poisson process and determine the average departure rate in terms of the average arrival rate.

2. For an average arrival rate of 2 messages per  second, determine the probability that exactly one message leaves in a 5 second interval.

Problem 12 (15 points)

Two Poisson terminals are attached to an infinite buffer. The first delivers four messages per minute on average and the other delivers two messages per minute on average. In either case the messages are geometrically distributed with average size 500 bits.

1. Determine the probability distribution of the arrival process to the buffer.

2. Determine the probability distribution of the message size.

3. Assuming a transmission circuit with capacity 100 bits per second, calculate the average buffer occupancy in bits, using the Pollaczek-Khinchin mean value formula

E(L) =

E(D)      Var(D)

------ + -------------

2      2[1 - E(D)]

Problem 13 (10 points)

Consider two independent M/M/1 queues connected in tandem. The input to the first is queue is a Poisson process with arrival rate 5 messages per second and with exponentially distributed message length of average value 20 bits. The capacity of the  link between the two queues is 200 bits per second and the capacity of the link serving the second queue is 300 bits per second.

1. Find the probability that each queue contains exactly one message.

2. Find the average number of messages stored in the tandem.

Problem 14 (20 points)

Consider the open tandem connection of two nodes which we will consider to be M/M/1 and independent of each other. Assume each node has its own independent service rate.

1. Calculate the total average delay between the moment a message arrives at the first node and the moment it has departed the second node, in terms of the channel capacity of the link   leaving each node, the message arrival rate and the average message length.