1.  (10 points)

(a) Find the equation of the line through (4, _1) and perpendicular to the line 2x + 4y = 5

(b) Find the inverse of the function f (x) =

2.  (10 points)

1 _ x       

x→ 1＋   1 _ x _ |1 _ x| .

θ _ tan θ

θ →0       sin θ    .

3.  (10 points) For f (x) = ^2 _ x

(a) Use the definition of derivative to find f\ (x).

(b) Find the equation of the tangent line to f (x) at x = 1.

4.  (10 points) Find the derivatives of the following functions: (a) p(x) = (x2 + 3x) /x4/3 + 、

(b) q(x) =

5.  (10 points)

(a) Let f (0) = 0 and f\ (0) = 2. Find the derivative of f (f (f (x))) at x = 0

(b) Find  for y = x2 ecos x

6.  (10 points) For

12(x2 + y ) = 25xy2

(a) Find dy

(b) Find  the  equation  of the  tangent  line  to  the  curve  that  goes through the point (3,4).

7.  (10 points) Find  f\ (2)   if   g(2) = T, g\ (2) = 5, h(2) = 3, h\ (2) = _2, and

(a)  f (x) = g(x)x

(b)  f (x) = arcsin(x _ 2)

8.  (10 points) An observer watches a rocket launch from a distance of

6 kilometers.  The angle of elevation θ is increasing at 2 radians per second at the instant when θ =  . How fast is the rocket climbing at that instant?

9.  (10 points) Find the dimensions of the rectangle with the largest pos- sible perimeter that can be inscribed in a semicircle of radius 1.

X                          X

10.  (10 points) Based on the following information, answer all questions about the function f which is defined for all x.

f\ (x) =        f\\ (x) =

x   f (x)

0

-1

0

(a) x-intercepts:

(b) y-intercepts:

(c) Where f is increasing:

(d) Where f is decreasing:

(e)  Critical points:

(f) Where f is concave up:

(g) Where f is concave down:

(h) The x coordinate of

any inflection points:

11.  (10 points) Find the following limits:

x _ sin x

x→0         x3

(b)x(l) x sin / 、

(c)x(l) x sin / 、

12.  (10 points) We know the following about g(x):

(a) Find g(2.1) using a linear approximation.

(b) If you were using Newton’s method to find where g(x) = 0 starting at x1  = 2, what is x2 ?

13.  (10 points)

(a) If f (x) and g(x) are continuous on [a, b] and f (x) 2 g(x) which of the following statements are always true:

b                                                       b                                b

I.      (f (x) + g(x))  dx =      f (x) dx +     g(x) dx a                                                      a                               a

b                                                    b                             b

II.      (f (x) . g(x))  dx =      f (x) dx .     g(x) dx a                                                    a                            a

b                                b

III.      f (x) dx 2      g(x) dx a                                a

(a) I only       (b) II only       (c) III only       (d) I and II only (e) I and III only       (f) II and III only      (g) I, II, and III   (h) none of these

0                                                                                                                   4

(b) If      f (x) dx = ln(a2 + 1) for all numbers a, find      f (x) dx

a                                                                                                                   3

14.  (10 points)

(a)  Compute  ╱  1ez  ln(t)dt\

8

(b)  Compute     ^8x _ x2  dx

4

15.  (10 points)

(a)  Compute

(b)  Compute

16.  (10 points)

(a)  Compute

2

(15x4 + 3x2 ) dx

1

(ex + sec2 (3x)) dx.

8

^2x + 9 dx

0

π/2

(b)  Compute         sin x cos3 x dx

0

17.  (10 points)

(a)  Find the area of the region bounded by f (x) =   and the

y-axis, for 0 < x < 1.

(b) Find average value of f (x) =  for 0 < x < 1.

18.  (10 points) Find the volume of the solid with base is the semicircle y = ^9 _ x2             _ 3 < x < 3

The cross sections perpendicular to the x-axis are squares.

19.  (10 points) Find the volume of the solid that results when the area of the region enclosed by y = 2x, x = 0, and y = 2 is revolved about x = 1.

20.  (10 points) A tank in the shape of a hemisphere with radius 10 ft is resting on its flat base with curved surface on top.   It is filled with beer of density 40 lb/ft3 . How much work is done drinking all the beer through a hole in the top of the tank?