Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH 0017 - Measure Theory

Homework 8

Question  8.1.  (i) Suppose g : R → [0, o) is measurable and vanishes (equals 0) outside a bounded interval and that   R g2 dλ。  < o.  Prove that   R g dλ。  < o also.  (Here λ。  is the Lebesgue measure on R.)

(ii) Suppose f  : R  →  [0, o) is measurable and   R f dλ。   <  o.   For any a  > 0, let the super-level set Ea  = {x e R } f (x) > a(. Prove

λ。(Ea ) < 1      f dλ。.

Question  8.2.  Let (X, A, µ) be a measure space and {fn (n1。(二)  c LI (X, A, µ).  Suppose fn decreases pointwise to f and that    f。dµ < o. Prove that    f dµ = limn→二     fn dµ .

Question  8.3.  (i) Let (X, A, µ) be a measure space and {fn (n1。(二)  c LI (X, A, µ).  Suppose

f  → f pointwise and that    f dµ  = limn→二     fn dµ  <  o.   Prove that, for all E  c A, E f dµ = limn→二   E fn dµ .

(ii) Give a counterexample to show that this may fail if    f dµ = limn→二     fn dµ = o.