The work that you submit should be your own work and please show full working where appropriate, as this is necessary to gain full marks.

Marks for each question are indicated. The total marks you can get is 100.

1    Discrete Mathematics

1. For each of the following formulae, find a logically equivalent formula in which A,  =→ and  年→  do not occur:  (i) -(p  =→  q); (ii) ((p A q) V r); (iii) -((p A q)  年→  r). Use the truth table to show that the proposed solution is indeed equivalent with the original one.  [12 marks]

2. Write out paraphrases of the following, using A, 3 and = (i) Frodo has a ring; (ii) Sauron does not have any rings; (iii) The One Ring rules all the other rings; (iv) The ring that Frodo has is the One Ring; (v) whoever wears the ring, becomes invisible (i.e., no other ordinary human can see that person);  (vi) Bombadil Tom can see the ring-wearer, hence he is no ordinary human (use the previous statement from (v) to formulate this one).  Auxiliary clauses:  has(x, y):  x has/is in possession of y; rules(x, y):  x rules y; wears(x, y): x wears y; sees(x, y): x can see y; and ordinary(x): x is an ordinary human.  [12 marks]

3. Write predicate logic formulae which state that the relation expressed by Rx,y  has the following properties:  (i) Rx,y  is irreflexive;  (ii) Rx,y  is intransitive;  (iii) Rx,y  is not a partial order.  Note that this formulation is a bit different from the one in the slides. To make this consistent, think about Rx,y  as Rp  with relation p between x and y (you can assume that both x and y are from the same set A).  So you can use Rx,y  as p in your formulations.  Therefore, in your answer, you can use both notations, just be consistent (i.e., if you choose 1 notation, then use the same for all your answers).  [9 marks]

4. Determine which of the following functions are injective and which are surjective (please provide explanations as well):

(i) f : Z → N, where An e Z: f(n) = n2022 + 1;

(ii) g : N x N → N, where A(n, k) e N x N: g(n, k) = 2n3k5n+k;

(iii) h : p(N) → p(N), where AA e p(N): h(A) = N /A (recall what p(N) means);

(iv) k : N → Z, where An e N: k(n) = (— 1)n .

[12 marks].

2    Statistical Analysis

5 There are 3 white and 5 black balls, from them 4 balls are transferred into an empty vessel.   From this vessel a ball is drawn and it is found to be white.  What is the probability that out of 4 balls transferred 3 are white and 1 is black?  [10 marks]

6 A school wanted to know students’ preference about homework through voting.  The students were divided into three groups based on their preferences:

G1  is the group of students that preferred more homework,

G2  is the group of students that preferred less homework,

G3  is the group of students that preferred no change to homework setup.

30% students belonged to G1 , 50%, belonged to G2  and 20% belonged to G3 .  They took part in the voting to decide this matter where students’ participation was as fol- lows.

65% of G1  voted

82% of G2  voted

50% of G3  voted.

A student is randomly selected who voted.  What is the probability that she is from G3 ?  [10 marks]

7 A family has two children. Assume that boys and girls are equally likely .

(i) Determine the probability that the family has one boy and one girl given the first is a boy.  [5 marks]

(ii) Determine the probability that the family has two girls given at least one of them is a girl.  [5 marks]

8 It is shown that conventional fertilizers can help plants grow by an average of 10 inches. A company claims that their new fertilizer can cause plants grow more than 10 inches on the average.   Check this claim using the p-value test with the significance level 0.05. You are given 15 plants that have sample mean 11.4 inches and sample standard deviation 2.5 inches. Consult the t-distribution table as given below for estimating the p-value.  [20 marks]