Make sure to explain your steps and fully show your work.

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1. (AC Currents) Given a switching circuit consisting of a direct-current-voltage source U0, an ohmic resistance R and a capacity C as shown in this figure:

(A) At the time t = t0  a direct voltage U0  is switched on (i.e. the switch is in position (1)).

Calculate the voltages UC  across the capacitor and UR  across the ohmic resistance as well as the current I as a function of the time t.

(B) At the time t = t1  the voltage at the capacitor is UC(t1 ) = U0, the voltage source is

disconnected, and the loop short-circuited (i.e. the switch is then in position (2)). Calculate again UC (t), UR(t), I(t).

2. (Maxwell equations and waves) Consider a linear, homogeneous, uncharged insulator. (A) Formulate the Maxwell equations for the electromagnetic fields  and  .              (B)  Show that  fulfills the homogeneous wave equation.

(C)  The electric field strength  is given as a plane wave

(r-, t) =  (eˆx − 2eˆy)ei(．r-一ωt)

(1)

where  = keˆz . The symbol eˆz  denotes the unit vector in z direction. Similar for the other two directions. Calculate the magnetic induction (r-, t), and determine its polarization.

(D)  The magnetic induction  is given as a plane wave of the type

(r-, t) = B0 cos(kz − ωt)eˆx + B0 sin(kz − ωt)eˆy

Calculate the electric field strength (r-, t) and determine its polarization.

(2)

3. (Maxwell equations in matter) A plane wave of frequency ω is incident on the plane interface between two media of different index of refraction n and n\ respectively. The figure below shows a visualization.

The plane wave has the same phase at the points A and B . Derive only by the requirement that the phase is also the same at the points A\  and B\ the law of refraction:

sin ϑ       n\

=

sin ϑ\        n

(3)