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MATH237: Calculus 3

Written Assignment 3

Fall 2022

Problems

Q1. Evaluate the following integrals.

(a)  \0 1 \^y(1) sin(x3 )dxdy .  [Hint:  Identify as a double integral 11D  then try another order.] (b)  \\D ^x2 + y2 dA, where D = {(x,y): x2 + y2  3,  −x x}.

\\\

and (0, 0, 1).

Q2.  Consider the region D in the first quadrant of R2  bounded by the curves y = x3 , 9y = x3 ,

x = y3  and 16x = y3 , as pictured below.

4

3

2

1

1                2                3                4

(a) Find a transformation (u,v) = T(x,y) such that the image T(D) of D under T is a rectangle in the uv-plane. Justify your answer.

(x,y)

(c) Use the change of variables theorem to compute llD 1 dA.

(d) What geometric quantity does the integral in (c) represent?

Q3. Let E be the region in the first octant of R3 that lies inside the sphere x2 +y2 + z2 = 4 and above the cone z = ^x2 + y2 .

(a)  Set up (but do not evaluate) iterated integrals that compute the volume of E ...

(i)  ...in Cartesian coordinates, with order of integration dxdy dz .

(ii)  ...in cylindrical coordinates, with order of integration dz dr dθ .

(iii)  ...in spherical coordinates, with order of integration dρdϕdθ .

Be sure to provide some justification for your answers.

(b) Evaluate one of your integrals from part (a).  [To check your work, you may want to evaluate them all. But only submit one evaluation.  The TAs will only grade one.]