Solve two the following simulation problems in any computational language of your choice. Submit a report (strongly recommend either a Jupyter notebook or an R Markdown document) with your results, including all relevant captioned figures.

1.  [Stochastic Control of Investment Portfolios]: An investor has two kinds of assets available to invest in: a risk-free asset Xt(0)  (safer) and a riskier asset Xt1  both modeled with Ito processes.

┐ = ┐ dt + ┌αX˙(0)t1 ┐ dBt  .

At time t, the investor is free to modify how much of their total wealth Zt  is allocated to each asset. We use the time-varying policy (or decision) function ut  e [0, 1] to encode what fraction of Zt  is in Xt(0)  vs. in Xt1 . The investor cannot exceed or withhold any part of their wealth from investment (i.e. no borrowing or short selling).

This leads to the following expression for the investor’s wealth process:

Zt  = Xt1 + Xt(0)

dZt  = ut .Zt .a.dt + ut .Zt .α .dBt + (1 _ ut ).Zt .b.dt

dZt  = Zt (a.ut + b(1 _ ut )).dt + α .ut .Zt .dBt  .

Assume the investor acts on a monthly clock t for up to t = 500 months.

(a) Identify conditions on ut  that would make Zt  an Ito process.

(b) Pick a few (e.g. 10) different risk profiles (a, b, α) for Zt . In real applications, typically b < a. Assume the investor defaults to investing equally in both assets (i.e.  ut  = 0.5 At).  Plot ensembles of sample paths for Zt  under your selected risk profiles (a, b, α).

(c) To evaluate the quality of a decision-making process, it is customary to estimate the average utility derived from following that decision process. Utility functions |(.) are typically concave increasing functions. For this problem, we use the logarithmic utility function |(z) = ln(z) (referred to as the Kelly Criterion).  Use your ensembles of sample paths to estimate the average utility in the terminal month t = 500 derived from following default investment policy above ut  = 0.5 At. i.e. Derive Monte Carlo estimates for ≥[|(Zt )] │t=500 .

(d) Derive Monte Carlo estimates for the average termninal utility derived from following the following alternative investment policy (also a constant fraction over time):

a _ b

2      .

Compare the performance of both investment policies.

(e) Do one of the following:

i.  Compare the two investment policies under your chosen generalization of the control problem. E.g. modeling Xt1 with a jump processs, using a different (valid) utility function, adding more investment options, etc. OR

ii.  Give a detailed outline of how you would apply statistical methods to learn optimal investment policies from data and experimentation (e.g. reinforcement learning). Be sure to characterize the strengths and weakness of your proposal.

2.  [Options Pricing via Monte  Carlo Estimation]:  Generate T = 500-day sample paths of the geometric Brownian motion (GBM) for different values of (µ, σ) using the Euler-Maruyama simulation scheme. Recall that the GBM is the stochastic process that satisfies the following SDE:

dSt  = µ(t, St )dt + σ(t, St )dBt  = µ . St dt + σ(t, St ) . St dBt  .

(a) Assume a GBM model for an underlying asset’s spot price St . Suppose we have a European call option for the asset St  given a strike price of K . Write and test an evaluation function that takes a GBM sample path and K as input. The output is the payoff for the call option. Recall that European call options may only be exercised at the expiration time T = 500 and has the value Z

Z = g(ST ) = maxVST  _ K, 0{ .

(b)  Specify 5 sets of GBM parameters (µ, σ) for 5 different assets VSt(k){k .  Use Monte Carlo to

estimate the expected value of European call options on each of these underlying assets. And provide confidence intervals for your estimates. You may make any simplifying assumptions (e.g. constant asset volatilities) as long as you state your assumptions.

(c)  Suppose the risk-free rate of return is r = 0.05.  Modify your value estimation process to estimate the discounted expected payoff for the option.

(d) Replace the European call option with a Asian call option monitored every 50 days. This is a path-dependent option also exercised at the expiration time T but valued at Zas

Zas  = gas (ST ) = maxV _ K, 0{

where  = Avg (VS50 , S100 , . . . , ST {)

Use Monte Carlo to estimate the value of Asian options on the same 5 sets of GBM-modeled assets you chose above. Compare the value of the European and Asian call options based on the results of your experiments.

(e) Repeat the European option value estimation process using Jump-Diffusion stochastic processes

for the underlying asset prices instead of just a diffusion GBM process.