Due: Friday, December 2, 2022 11:59PM via Gradescope

(late submissions allowed up until December 3, 2022 11:59PM with -25% penalty)

Solutions must be clearly presented. Incoherent or unclear solutions will lose points.

(1) Let X  and Y be spaces and set }p| = X*  I X  and }q| =  Y*  I Y .   Prove that (X Ⅱ Y)*    (X* Ⅱ Y* )/~ where the only nontrivial relation is p ~ q .

[Recall that Ⅱ means “disjoint union”, and if A and B are spaces, then a subset U of A Ⅱ B is open if and only if U n A and U n B are open in A and B, respectively.]

(2) Let X = Z>0  be the set of positive integers with the discrete topology. (a) Prove that X is locally compact, Hausdorff, and not compact.

(b) Prove that X*  is homeomorphic to the subspace }0| u }1/d \ d e Z>0| of R.

(3) Let Y be a Hausdorff space and let X C Y be a locally compact subspace such that X = Y . Prove that X is an open subset of Y . Hints at end.

(4) Let n > 1 be an integer.  Recall that RPn  = (Rn+1 I }0|)/~ where x ~ y if there exists λ e R I }0| such that x = λy . Write [x1  : . . . : xn+1] for the equivalence class of (x1 , . . . , xn+1).  Our goal is to show that RPn  is a compactification of Rn ; since it’s a bit lengthy this problem will be worth 40 points rather than the usual 20.

Define U C RPn to be the subset of equivalence classes of the form [x1  : . . . : xn+1] where xn+1   0 (this makes sense since whether or not xn+1  is 0 does not depend on the actual representative).

(a) Prove that the function g : U → Rn  given by

g([x1  : . . . : xn+1]) = ╱  , . . . , 、

is well-defined  (i.e.,  does not depend on the choice of representative for the

equivalence class) and is a homeomorphism. Hint at end.

(b) Prove that U = RPn .

(c) Finally, prove that RPn  is Hausdorff .

[You may use that the restriction π\S亢  : Sn   →  RPn   is a quotient map,  i.e., U C RPn  is open if and only if (π\S亢 )-1 (U) is open. This does not follow from definitions and requires a proof, but you can take it for granted for this problem.]

(d) When n = 1, explain why RP1 I U is a single point and explain how this implies that RP1   S1 .