1. Circle your choice. No explanation required.                                                                (1 pts each)

(1) True – False: The set {(x, y) : x2 + y2 = 0} is a subspace of R2 .

True: Notice that this set is consists only of {(0, 0)} which is a subspace.

(2) True – False: The non-zero columns of A form a basis for the column space of A.

False: It should read the pivot columns of A form a basis for the column space of A.

(3) True – False: If A is a 4 × 6 matrix with 2 pivot columns, then N(A) = R4 .

False: The rank theorem says that dim N(A) = 4. However, N(A) is a subspace of R6 .

(4) True – False: If A is a 3 ×3 matrix with det(A) = 0, then one row must be a scalar multiple of another row.

False: The det(A) = 0 condition just says that the three rows are linearly dependent. There are several ways for three rows to be linearly dependent without one being a mul- tiple of the other. For example, row three can be the sum of the first two rows.

(5) True – False: The matrix [0(1)   1(1)] is diagonalizable.

False: The eigenvalues are 1, 1 but the corresponding eigenspace is one dimensional.

(6) True – False: If A is diagonalizable, then A is invertible.

False: The zero matrix is diagonalizable (in fact diagonal) but is not invertible

(7) True – False: If A is a 3 × 3 matrix with det(A) = 1, then the rank of A is 3.

True: The condition det A = 1 says that A is invertible and thus, since A is 3 × 3, it must have rank equal to 3.

(8) True – False: If A100 is invertible, then A is invertible.

True: If A100 is invertible, then 0  det(A100) = det(A)100 and thus det A  0 and hence A is invertible.

(9) True – False: If zero is an eigenvalue of A, then A is not invertible.

True: If 0 is an eigenvalue, then there is a nonzero vector v such that Av = 0. This says that N(A)  {0} and thus A is not invertible.

(10) True – False: A 3 × 3 matrix with eigenvalues 1, 2, 4 must be diagonalizable.

True:  Eigenvectors from different eigenspaces must be linearly independent.  Since there are three distinct eigenvectors, there must be three linearly independent eigenvec- tors – enough to form a basis in R3 .

(11) True – False: A 3 × 3 matrix with eigenvalues 1, 1, 4 can never be diagonalizable.

False: The diagonal matrix with diagonal entries 1, 1, 4 is diagonalizable.

(12) True – False: If A is an n × n diagonalizable matrix, then each vector in Rn can be written as a linear combination of eigenvectors of A.

True: If A is diagonalizable, then A has a basis of eigenvectors and thus every vector an be written as a linear combination of eigenvectors of A.

2. Compute a basis for the subspace {(x, y, z, w) ∈ R4  : x − y + z + w = 0, x + 2z − w = 0, x + y + 3z − 3w = 0}.                                                                                                                  (8 points)

The subspace above is the null space of the matrix

l 」

「1     1     3    −3  .

The says that the variables z and w are free variables and thus every vector in the null space of A

can be written as

l x 」         l −2」

「w(z)  = z「 0(1) 

Thus

l 1(2)」

「 0(1) 

l1」

「1  .

2

form a basis for the null space – and hence the subspace.

3. Find a basis for the subspace spanned by the vectors

(1, −1, −2, 3), (2, −3, −1, 4), (0, −1, 3, −2), (−1, 4, −7, 7), (3, −7, 6, −9).

(8 pts)

Consider the span of these vectors as the column space of

From here one can see that the first, second, and fourth columns of the original matrix are pivot columns and thus the vectors (1, −1, −2, 3), (2, −3, −1, 4), (−1, 4, −7, 7) form a basis for the span.

4.  Solve the system x\(t)  =  − x(t) + y(t), y\(t)  = x(t) − y(t) with initial condition x(0)  = 2, y(0) = 1. Be sure to show all work.                                                                                   (10 points)

This system can be written in matrix form as

X\ = AX,    X(0) = [  ]1(2) ,

where

A =  [     1] .

This matrix is diagonalizable with

A =  [ 1   ][1   ] −1 .

Thus

X(t) =  [ 1   2(1)t] [ 1   ] −1  [  ]1(2) .

A calculation yields

X(t) =  t2(1)t] .

Thus

x(t) = e −2t + e − t    and   y(t) = −e−2t + 2e − t .

5. Match each system with its trajectories. Provide brief explanations.

(1) x\ = −x + 4y, y\ = −2x + 5y

(2) x\ = x − 4y, y\ = 2x − 5y

(3) x\ = −5x + 8y, y\ = −4x + 7y

(4) x\ = 5x − 8y, y\ = 4x − 7y

The general solution to x\ = −x + 4y, y\ = −2x + 5y in vector form is

X(t) = c1e3t  [  ]1(1) + c2et  [  ]1(2) .

This matches figure 3.

The general solution to x\ = x − 4y, y\ = 2x − 5y in vector form is

X(t) = c1e−3t  [  ]1(1) + c2e−t  [  ]1(2) .

This matches figure 2.

The general solution to x\ = −5x + 8y, y\ = −4x + 7y in vector form is

X(t) = c1e3t  [  ]1(1) + c2e−t  [  ]1(2) .

This matches figure 4.

The general solution to x\ = 5x − 8y, y\ = 4x − 7y in vector form is

X(t) = c1e−3t  [  ]1(1) + c2et  [  ]1(2) .

This matches figure 1.