1.  True or False. Circle the correct answer. No explanation needed.                                       (10 points)

(a) True/False: If A is a 5 × 6 matrix, then Ax = 0 always has a non-zero solution.

True. 6 vectors in R5 will be linearly dependent and so Ax = 0 will have a nonzero solution.

(b) True/False: If A is a 4 × 5 matrix, then Ax = b will always have infinitely many solutions.

False. It might not have any solutions.

(c) True/False: If v1, v2, v3 are vectors in R3 that are linearly independent, then the matrix with these vectors as its rows is invertible.

True. This is one of the many ways of saying a matrix is invertible.

(d) True/False: If v1, v2, v3 are linearly independent, and c1, c2, c3 are nonzero real numbers, then the vectors c1v1, c2v2, c3v3 are also linearly independent.

True.  If C1(c1v1 ) + C2(c2v2 ) + C3(c3v3 ) = 0, then due to the linear independence of the vectors, C1c1  = C2c2  = C3c3  = 0. But since c1, c2, c3 are non-zero, then C1  = C2  = C3  = 0 which means that c1v1, c2v2, c3v3 are also linearly independent.

(e) True/False: If T : Rn → Rn is a one-to-one linear transformation then T is onto.

True. If T is one-to-one, then the nullspace of the corresponding matrix is zero. Thus, this matrix is invertible and so T is also onto.

2. Consider the vectors

u =  l 3」

(a) Can one write

as a linear combination of u and v?

and

l 5」

「 4

v =  l 1」

(5 points)

We need to solve the system represented by the following augmented matrix

l 」

「 2       1       4   .

This row reduces to

l」

「               .

From here one can see that the system is inconsistent and thus the given vector is not in the linear span of u amd v.

(b) For what value of k is

l 」k(1)

a linear combination of u and v.

Here we need to solve the system given by the augmented matrix

l 」

2

This (partially) row reduces to

l 」

This system will be consistent as long as k = −8.

3. Consider the following system of linear equations:

kx + y + z = 1

x + ky + z = 1

x + y + kz = 1.

This system has the associated augmented matrix

l 」

which (partially) row reduces to

「0       0       (k + 2)(k − 1)   1 − k   .

(a) For what value(s) of k will this system have unique solution?

k  1 or k  −2.

(b) For what value(s) of k will this system have no solution?

k = −2.

(c) For what value(s) of k will this system have more than one solution?

= 1.

4. Write down the parametric form of the solution to the system

x + 2y − z + 3w = 3

2x + 4y + 4z + 3w = 9

3x + 6y − z + 8w = 10.

The augmented form of this system is

x =  − t − 2s,

y = s,

z =  +  t,

w = t.

5. Let T be the linear transformation associated to the matrix A = ] .

(a) T is a linear transformation from where to where?

This linear transformation is from R3 to R2 .

(b) Is T one-to-one?

3

No.  There are three columns in R2  and so they cannot possibly be linearly independent. Thus, the nullspace of the matrix is nonzero and to T is not one-to-one.

(c) Is T onto?                                                                                                                                  (4 points)

Yes. The first two columns span R2 and thus the column space of this matrix is R2 . Thus, the range of T is the column space – which is R2 .

6. Without using Wolfram Alpha or doing any serious row reduction, explain why each of these matrices is not invertible. Details are important.

Row three is twice row two and so a single row operation will yield a row of zeros. Thus, the matrix cannot reduce to the identity.

(b)

J

0     0     0

(2 points)

Last row is zero. Thus, the matrix cannot reduce to the identity.

(c)

J

0     2     2

(3 points)

Row three is twice row two and so a single row operation will yield a row of zeros. Thus, the matrix cannot reduce to the identity.