(1) Under what conditions on u and v are the two vectors u + v and u _ v orthogonal? [4 marks]

(2) Let a1 , a2 , a3  be linearly dependent vectors in R3 , which are not all zero. Consider the matrix A with a1 , a2 , a3  as its column vectors.

What are the possible values of rank A?                                                     [4 marks]

(3) Let A and B be n × n invertible matrices.

Explain, with reasons, the truth of the following statements.

(a) True or false? For all invertible matrices A and B, (AB)一1  = A一1 B 一1 .

[2 marks]

(b) True or false? For all invertible matrices A and B, (AB)一1   A一1 B 一1 .

[2 marks]

(4) Let S S Rn  be a non-empty subspace of Rn .

TRUE or FALSE: Any subset A S S which contains the zero vector must also be a

subspace of Rn . Give a proof or counterexample.                                       [4 marks]

(5)   (a)  Consider the system of linear equations

3x + 6y + 3X = 9

4x + 8y + 6X = 8

5x + 11y + 8X = 11.

Using Gauss-Jordan elimination, find the solution set of this system.   Show which elementary row operation you are using in each step.              [5 marks]

(b) Is the system in part (a) equivalent to the system

x + 2y + X = 3

y + 3X = _4

2X = _4?

Explain your reasoning.

(c) Is the system in part (a) equivalent to the system

3x + 6y + 3X = 9

4x + 8y + 6X = 8?

If yes, explain your reasoning. If no, give the solution set of this system.

[2 marks]

(6)   (a) Find the intersection between the plane

x + 2y _ z = 3

and the line

x =  __06(3)．(、) + t __12(1)．(、) .

[4 marks] (b) Prove that the distance between the two planes n . x = k1  and n . x = k2  is

lk1 _ k2 l

llnll    .

[4 marks]

(c) Find the distance between the planes

2x _ 12y + 10z = 16 and  _ x + 6y _ 5z = 3.

[2 marks]

(7)  Consider 2 × 2 matrices of the form A =  ┌c(a)   d(b)┐ . We can think of 2 × 2 matrices as vectors with respect to the standard addition and scalar multiplication operations.

Define the trace of a square matrix as the sum of its diagonal elements.  For 2 × 2 matrices the trace is

tr(A) = a + d.

(a)  Show the following basic properties of the trace:

(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B), (ii) tr(kA) = k tr(A),                (iii) tr(AT ) = tr(A),                  (iv) tr(AB) = tr(BA)

for A, B any 2 × 2 matrices and k e R a scalar.                                 [6 marks]

(b) Use the properties in (a) to show that the dot product of matrices defined by A ● B = tr(AT B)

satisfies the linearity and symmetry properties of the ordinary dot product of vectors in Rn . That is, show the following identities

(i) A ● (B + C) = A ● B + A ● C ,

(ii) A ● (kB) = k(A ● B),

(iii) A ● B = B ● A

for A, B any 2 × 2 matrices and k e R a scalar.                                 [3 marks]

(c)  Consider an orthogonal 2 × 2 matrix P . Show that multiplying any two matrices by an orthogonal matrix leaves their dot product unchanged. That is, verify the following formula

PA ● PB = A ● B

[6 marks]

(8) Let M be the matrix

M =  ┌┐

'0   1   1'

(a) Find the eigenvalues of M and the corresponding eigenspaces.        [10 marks]

(b) Determine if M  is diagonalisable,  carefully justifying your answer.   If M  is

diagonalisable, construct the similarity transformation and resulting diagonal matrix.                                                                                                  [5 marks]

(9)  Consider the matrix

Tθ  =  ┌┐

(a)  Calculate Tθ T一θ .

(b)  Calculate Tθ Tφ .

[2 marks]

If Tθ  is invertible, find its inverse. If Tθ  is not invertible, justify your reasoning.

[2 marks]