A = #             -,  b = #     -  , x!"  = #    -  , x!2  = #    -

Problem 1:

(i)Find A$"

(ii) Find detA

(iii)Find the characteristic polynomial of A

(iv)Find the eigenvalues and eigenvectors of A

(v)Bring A to Jordanform

(vi) Find the Singular Value Decomposition of A

(vii)Find ‖A‖, ‖A$" ‖,   exp(At)

(viii)Solve A x = b using Gaussian elimination.

(ix)Solve A x = b using Jacobi, starting with initial conditions x!"  and x!2 .              (x)Solve A x = b using Gauss-Seidel, starting with initial conditions x!"  and x!2  .   (xi)Solve A x = b using SOR, starting with initial conditions x!" and x!2 .Try several w’s: -1,0,1, 2,3

(xii)Solve A x = b using Conjugate Gradient (A%A x = A% b), with initial conditions

x!"  and x!2 .

and x!2 . Experiment with different choices of e.

Compare the results of the methods (viii)-(xiii).

(xiv)Do the QR decomposition of A

(xv)  Try  to find  the  eigenvalues  of  A  by  the following  method:  Do  the  QR decomposition   of   Yk'"     where   Yk'"  = Rk Qk     and  where      Qk Rk     is   the   QR

decomposition of Yk .Start with Y!  = A

(xiii)Solve A x = b using xk'"  =  xk  + e(A%A xk  − A% b),  with initial conditions x!"

(xvii) Do the Choleskyfactorization of A%A and AA% .

Problem 2 (Optional)