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MAST10006 Calculus 2

Semester 2, 2022

Question 1 (13 marks)

(a)  Evaluate the limit ✓(l)im!0 cos 

MAST10006 Calculus 2

(b)  Evaluate the limit lim!0 x2 tanh ✓ ◆

Let

cos  

f(x) =

>

>

>

>

(

where a 2 R is a constant. For what value(s) of a is f continuous at x = 0? Justify your answer with reference to the definition of continuity.

Question 2 (5 marks)

1

Determine the value(s) of c 2 R such that the series X arctan(cn) converges.

n=1

Question 3 (11 marks)

Determine if the following series converge.

1   3n2 + cos2 (n)+2n

1

(b)  X nnn!

n=1

Question 4 (8 marks)

(a)  Sketch the graphs of y = arctanh(x) and y = sech(x).

(b)

Show that

arcsech(x) = arctanh (^1 x2 )

where arcsech(x) is the inverse of f : [0, 1) ! R,f(x) = sech(x).

Question 5 (5 marks)

(a   Find all x 2 R such that

cosh(x)+sinh(x) = 2022

or show that there are no such x 2 R.

Find all z 2 C such that

cosh(z)+sinh(z) = 2022

or show that there are no such z 2 C.

Question 6 (12 marks)

(a)  Evaluate the following integral using the complex exponential: Z e −2 sin(5x) dx

(b)  Evaluate Z ^9+ x2 dx

(c)  Evaluate Z x2 log(x2 ) dx

Question 7 (9 marks)

Consider the ODE

dx =      x2 ey     x

(a)

=                    −

Solve the ODE for dx , and hence nd y(x).

More space for answering question  7 (b)

Question 8 (13 marks)

Consider a beehive of 100,000 bees. Suppose that an outbreak of a virus occurs in the beehive. Once a bee becomes infected, the bee remains infected and does not recover.  The virus does not kill the bees.

Let I(t) be the number (in thousands) of bees that are infected at time t days after the start of the outbreak. The rate of increase of I at time t is proportional to the product of the number of bees which are infected at time t, and the number of bees which are not infected at time t.

(a)  I(t) satisfies the ODE

dI

βI(100 − I)

dt

where β > 0 is a constant. Explain why, with reference to the information given above.

Find the general solution of the ODE.

More space for answering question 8  (b)

(c)  The outbreak begins with 100 infected bees at time t = 0.  3 days later there are 1000 infected bees. Find I(t) in terms of t.

(d) What happens to I(t) as t ! 1?  Justify your answer.  Interpret this in terms of the virus’s spread through the beehive.

Question 9 (6 marks)

Consider the ODE

= sin(y),    x ≥ 0,  0 < y < 4⇡ .

Without solving the ODE, sketch the family of solutions of this ODE.

Question 10 (11 marks)

Solve the ODE

− 4      +4y = 2x + 18e5

subject to the initial conditions y(0) =   and  y\ (0) = 6.

More space for answering question 10

Question 11 (6 marks)                                                                                                                              − 1

An  object  of mass  4  kg  is  suspended  vertically  from  a  spring,  with  spring  constant  k  1

 

the object. At equilibrium, the spring is stretched by s metres from its natural length. Let y(t) be the distance in metres of the object below its equilibrium position at time t seconds.

(a)  Use Newton’s second law to derive the equation of motion of the system.

(b)  Three springs are available to use in the system:  one with spring constant k = 4, one with k = 8, and one with k = 16.  Which of these springs, if any, would result in the object moving with oscillations? Justify your answer.

(c)  Assume that k = 4.  Give an example of a possible external force f(t) which, if it were applied to the object, would result in the system oscillating with constant amplitude in the long term, or explain why it is not possible.

Question 12 (7 marks)

Let f : R2 ! R be given by

f(x,y) = 6 ^x2 + y2

and let S be the surface given by z = f(x,y).

(a)  Find the equation of the level curve corresponding to z = 2, and sketch the level curve.

(b)  Find the equation of the level curve which passes through the point (x,y) = (3, 4).

(c)  Sketch the cross-section of the surface in the xz plane.

(d)  Sketch the surface S .

Question 13 (7 marks)

Find the stationary points of f(x,y) = y2 + x3y − xy +2, and classify them as local maxima, local minima or saddle points.

Question 14 (5 marks)

Let f : R2 ! R be a di↵erentiable function.

(a) At the point (x0 ,y0 ) = (1, 5), it is known that the equation of the tangent plane to the

surface z = f(x,y) is

−2x +3y − z = 17.

Find the directional derivative of f at the point (1, 5) in the direction towards the origin.

(b)

At the point (x,y) = (2022, −7), it is known that the directional derivative of f is zero

in the direction ✓ = T/4, and the directional derivative of f in the direction φ = −T/4 is −8, where ✓ and φ are angles measured anticlockwise from the positive x axis.           Find rfI(2022, −7) .