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Quantum Nanoscience (PHYS4126) 2020 – Final Exam

1.  These questions pertain to the superconducting circuits lectures and the paper Resolving photon number states in a superconducting circuit,” D.

I. Schuster et al., Nature 445, 515–518 (2010).

(a)  Consider a cavity or circuit QED experiment described by the Jaynes- Cumming Hamiltonian:

H/  = ur  :at a + 1/2+  X + g(a + at _ ).

Given a cavity decay rate K and an atom decay rate y, define the strong coupling and the strong dispersive regime for this system.

(b)  Explain (in a few sentences) one benefit, that is relevant to the exper- iment by Schuster et al., of a circuit QED realization of the Jaynes- Cummings Hamiltonian over a traditional realization in terms of an atom in a cavity.

(c)  The paper by Schuster et al.  explores the dispersive regime where the Jaynes-Cummings Hamiltonian can be approximated by

H/  = ur at a +  X + xat a口X .

Consider Fig. 4 from the paper by Schuster et al. Explain (in about one or two paragraphs) how the experiment can be used to probe the photon number statistics of the resonator.

(d)  Consider the following electrical circuit:  

C 

Find first the Lagrangian and subsequently the Hamiltonian of this circuit, expressed in terms of ux and charge variables oi , gi  (satis- fying [oi , gj ] = i 6ij ), where i = 1, 2 corresponds to the two nodes indicated in the gure.

2.  These  questions  pertain  to  the  spins  in  solids  lectures  and  the  paper “Photon-mediated interactions between quantum emitters in a diamond nanocavity,” R. E. Evans et al., Science 362, 662-665 (2018).

(a)  Below is a modified version of Figure 1 from Resolving photon num- ber states in a superconducting circuit,” D. I. Schuster et al., Nature

445, 515–518 (2010).

the parameters for the silicon vacancy centre coupled to the nanopho- tonic cavity in the regime used for cavity-assisted spin initialization and readout (Figure 3 in Evans et al.). What are the values of g , ∆, and Γ = max[y, K, 1/T]?

(b)  Derive the eigenvalues and eigenstates of the Jaynes Cummings Hamil- tonian

H/  = ur (at a + 1/2) +  口z + g(a口 + at 口_ )

for a total of 4 quanta in the coupled atom’-cavity system (the dy- namics of the Hamiltonian are confined to the subspace spanned by |e, 3) and |4, g)).

(c)  Name and explain two factors that make it challenging to realise coherent optical interactions between solid-state emitters.  Provide examples of physical interactions that contribute to these two factors.

(d) What is the minimum energy difference between the  |S)  and  |D)  states of the coupled silicon vacancy centres in the dispersive regime (shown in Figure 4 of Evans et al.)? Express this energy difference as a function of g , K, y, and ∆ . Explain how to derive your expression from the Tavis Cummings Hamiltonian.

3.  These questions pertain to the trapped ions lectures and the paper Fast quantum logic gates with trapped-ion qubits” by Sch¨afer et al.  Nature 555, 75 (2018).

(a) You have implemented a two-qubit phase gate on a trapped ion reg- ister 1000 times and are now looking at the recorded measurement outcomes to judge whether the gate ran successfully. Each run con- sisted of an initialization to |00), a global Rx (T/2) rotation, the phase gate and another Rx (T/2) rotation.  You nd the following results were returned by your experiment.

detection

 

# of events

496

4

1

499

Label the states that were detected in Dirac notation and estimate the fidelity F of the gate. Can you explain why these outcomes were observed?

(b)  Name and explain (in about one or two paragraphs) two challenges and two solutions to scaling up trapped-ion quantum computers to process long computations.

4.  These questions pertain to the Majorana lectures

(a)  Describe two physical mechanisms that may result in decoherence of a Majorana based topological qubit.

(b)  Describe (in about one or two paragraphs) the key ingredients for gen-   erating topological superconductivity in superconductor-semiconductor systems.  Draw appropriate band structure diagrams for each effect,   and how they combine together to form a topological state.