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ELEC 9732 Final Exam

In magnetic levitation a ball (of mass m) of magnetic material is suspended by an electro-magnet (EM).

Newton’s law gives (with y the distance from the ground to the centre of gravity of the ball)

L0 I2 β

=

2(1 + yβ)2

where I is the current applied to the EM and k > 0 is  a viscosity  coefficient.   Also  β  >  0  is  a  scaling constant.  The inductance has been assumed to vary inversely with y . We also assume for simplicity that the EM is driven directly by a current source.

(i)  Express the equations in state space form.

(ii)  Find the operating point for holding the ball at a fixed target height y = y0 .

(iii)  Discuss the stability of the system at the oper- ating point.

(iv)  Using linearization develop a linear control law valid near the operating point.

(v)  Treating the target height as the scheduling vari- able extend the design to a gain-scheduled de- sign.  Comment on any limitations of the gain- scheduled control law.

A  pendulum  with  moving  suspension  point  is  de- cribed by,

mL + mgsin(φ) + kLφ˙ = T/L + ma(t)cos(φ).

where,

a(t) = of the suspension point;

T = torque applied at the suspension point;    m = pendulum mass & L = pendulum length; k = friction coefficient

φ(t) = angle from the vertical.

The aim is to stabilize the pendulum at φ = 0.

Assume g = 9.81 and .9 < L < 1.1;

.5 < m < 1.5 and 0 < k < .2 and la(t)l < 1.

(i)  Design a sliding mode stabilizing controller that avoids chattering.

(ii)  Show how the control design parameters can be chosen to ensure     lφl < .01 & lφ˙ l < .01.

2a Consider a linear time-invariant system with in-

put u(t) and output y(t) and transfer function G(s). Suppose

Re[G(jω)] 2 2∈ > 0 and lG(jω)l < c

where c is a constant.

Show that the system is strictly passive with

T                                         T                                     T

0                                         0                             c2     0

2b Consider the nonlinear system

x˙1      =   x2 _ x1(3) + r

x˙2      =    _x2 + a(x1(3) _ r)

where 0 < a < 1 and r(t) is a system input. Take the initial conditions to be x1 (0) = 0 = x2 (0). Using the result of 2a,

(i)  Show that the system is energy input en- ergy output stable.

(ii)  Then show that

supt lx1 (t)l < o and supt lx2 (t)l < o