1.  (50 points) Consider the Gaussian function

1       −t2

f (t) = σ ^2π e 2σ2  .

Let F denote the Fourier transform, so that

o

F[f](w) =         f (x)e尸2πi北w dx.

尸o

(1)

(2)

It is known that, when f is given by the formula (1),

F[f](w) = e尸2π2 σ 2 w2 .

(3)

Let σ = 0.01. Note that, since f (x) decays so quickly for large |x|, the integral (1) can be approximated as an integral over [_1/2, 1/2] instead of (_o, o). Let the sequence x0 , x1 , . . . , x2N  be defined by

xj  = f ╱ 、,    j = 0, 1, . . . , 2N.                      (4)

Compute F[f] from this sequence by  (if you are using MATLAB) first apply- ing  the  fftshift  function  and  then  applying  the  fft.    In  NumPy,  use  the numpy .fft .fftshift and numpy .fft functions.

(a) What do the fftshift and numpy .fft .fftshift functions do? Why are they

necessary?

(b)  Set N  =  200 and plot the output sequence X0, X1 , . . . , X2N ,  before and

after applying fftshift to it (plot both the real and imaginary parts on the same plot).  Why do the plots look this way?  How is the output sequence X0, X1 , . . . , X2N  related to F[f](w)?

(c) Use formula (3) to check your numerical solution. What is the smallest number N such that F[f] is computed to machine precision?

(d) What happens to f and F[f] when you change σ to 0.005?  What about 0.0005? How big must N be in each case to give an accurate calculation of F[f]?

(e)  Apply fft to the sequence x0 , x1 , . . . , x2N , without first applying fftshift.

Plot the resulting sequence sequence X0, X1 , . . . , X2N . Why does the plot look this way? How is this sequence related to F[f](w)?

2.  (50 points) Consider the function

f (x) = J3(x),                                                   (5)

where Jν(x) is the Bessel function of order ν, implemented in the besselj function in MATLAB and the scipy .special .jv function in SciPy. It is known that

f\ (x) =  (J2(x) _ J4(x)).                                         (6)