Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

STAT0008: In-course Assessment, Term 1 2022–2023

Statistical Inference

Academic year: 2022/23


●  Answer ALL questions.

 You may submit only one answer to each question.

 The relative weights attached to each question are as follows: Q1 (20), Q2 (40), Q3 (40).

  The numbers in square brackets indicate the relative weights attached to each part question.

●  Marks are awarded not only for the nal result but also for the clarity of your answer.

●  The release date for this In-Course Assessment is  12:00  GMT  (i.e. UK time) on Monday  21st November 2022.

●  The  deadline  for  submission of your answers  is  14:00  GMT  (i.e. UK time) on  Monday  28th November 2022. Late submissions will be penalised when marking.

● Your answers should be submitted as one pdf document (no larger than 100MB) through the submission link on the STAT0008 Moodle page, within the In-course Assessment’ section.

Administrative details

You may use your course materials to answer questions.

● You may contact the course lecturer to ask questions concerning the ICA using the In-course assessment discussion forum’ on the course Moodle page. Please note, the lecturer will limit the amount of help offered to students and cannot check solutions (or part-solutions) to answers or give detailed guidance. The deadline for asking questions concerning the ICA is 12:00 GMT (i.e. UK time) on Thursday 24th November 2022.

 You must not contact your tutorial group leader with regard to any questions that concern the ICA.

Formatting your solutions for submission

●  For all questions, you may choose to type or hand-write your answers.

● You should submit ONE pdf document that contains your answers to all questions.  Please follow the UCL guidance on combining text and photographed/scanned work, if applicable. A link to some guidance on photographing handwritten work and combining photographs into a le for submission can be found within the In-course Assessment’ section of the STAT0008 Moodle page within the document ‘Submitted ICA Work - Guidelines’. All students should read this document prior to producing their file for submission.

● You must complete an ICA cover sheet to include as the rst page of your submitted document. The cover sheet can be found within the In-course Assessment’ section of the STAT0008 Moodle page.

●  Please ensure that your handwritten solutions are clear and are readable in the document that you submit. You are encouraged to write out solutions neatly, prior to submission, once you are happy with them.

● Your answers will be marked anonymously.  Please DO NOT include your name in any submitted material.

Plagiarism and collusion

● You must work alone.  In particular, any discussion of the ICA or your solutions with anyone else is not acceptable.  You must read the Department of Statistical Science’s advice on collusion and plagiarism, which you can nd here. When submitting your work you will confirm that you have read and understood these guidelines.

  Parts of your submission will be screened via Turnitin to check for plagiarism and collusion.

● If there is any doubt as to whether the answers you submit are entirely your own work, you may be required to participate in an investigatory viva to establish authorship.

●  Any plagiarism or collusion would normally result in zero marks for all students involved and may mean that a student’s overall module mark is recorded as non-complete.

Question 1 [20 marks]

Let x = (X1 , . . . , Xn )T  be a collection of independent and identically distributed random variables with probability density function:

f (x; µ, λ) = / 2(1)  exp /-λ ,    x > 0,

where µ > 0, and λ > 0. The mean and variance of this distribution are

E (Xi ) = µ, Var(Xi ) = µ3

(a)  Calculate the maximum likelihood estimators of the parameters µ and λ .  [4]

(b)  Calculate the Fisher information matrix of (µ, λ).  [8]

(c)  Calculate the Jereys prior of (µ, λ).  [4]

(d)  Is the maximum likelihood estimator of µ a minimum variance bound unbiased estimator (MVBUE)? Justify your answer.  [4]

Question 2 [40 marks]

Let X1  and X2  be two independent and identically distributed random variables with N (µ, 1) distribution.

(a)  Calculate a sucient statistic for µ .  [5]

(b)  Suppose that we are interested in estimating the parameter ϕ = µ6 + 15µ4 + 45µ2 . Find k such that  = X 1(6) - k is an unbiased estimator of ϕ .  [6]

Hint: what is the sixth moment of the normal distribution?

(c)  Calculate the conditional distribution X1  B {X1 + X2  = sI.  [10]

(d)  Use the Rao-Blackwell theorem to nd an unbiased estimator of ϕ, denoting this estimator as , such that Var ( ) < Var ( ).  [15]

(e)  Let (1, 2) be a realisation of (X1 , X2 ). Calculate the estimate  based on this sample.  [4]

Question 3 [40 marks]

Let x = (X1 , . . . , Xn )T  be a collection of i.i. d. random variables with probability density function (pdf):

f (x; θ) = 2        0 < θ < x < o,

where θ > 0 is an unknown parameter.

Let x = (x1 , . . . , xn )T  be a random sample observed from this distribution (this is a realisation of x).

(a)  Find a one-dimensional sucient statistic T (x) for θ .  [2]

(b)  Calculate the Maximum Likelihood Estimator of θ .  [3]

(c)  Is the Maximum Likelihood Estimator of θ unbiased for θ? Justify your answer.  [10]

A Bayesian statistician assumes that the prior distribution for θ is given by θ ~ 八[0, a], where a e R+ , a  0.

(d)  Determine the posterior distribution of θ based on the sample x.  [15]

Suppose that the following sample of X1 , . . . , Xn  is obtained, where n = 8:

25.6,  16.4,  11.8,  10.8,  12.2,  10.4,  16.8,  15.0

(e)  Assuming that the prior distribution for θ is such that θ ~ 八[0, 10], determine the Bayes’ estimate of θ where the loss function is given by

L(θ, d) = (d - θ)2 ,    where   d e R.