1. Duchenne Muscular Dystrophy (DMD) is a genetically transmitted disease passed from a mother to her children. Boys with the disease usually die at a young age; but affected girls usually do not suffer symptoms, may unknowingly carry the disease and may pass it to their offspring. It is believed that about 1 in 3,300 women are DMD carriers. A woman might suspect she is a carrier when a related male child develops the disease. Doctors must rely on some kind of test to detect the presence of the disease. This data frame contains data on two enzymes in the blood, creatine kinase (CK) and hemopexin (H) for 38 known DMD carriers and 82 women who are not carriers. It is desired to use these data to obtain an equation for indicating whether a woman is a likely carrier. Specifically the following data was collected:

R was used to explore these data and to fit various models to them. Using the R output given on pages 5–9 in the appendix, answer the following questions:

(a)  Can you think of a reason why the analysis looks at CK and log(CK) as possible

explanatory variables? Comment briefly.

(b) Do you think it would be necessary to also consider  log(H) as a possible

regressor? Comment briefly.

(c) Which of these models is your preferred model? Justify your answer.

(d) Except for the estimate of the intercept, interpret each estimate in your pre- ferred model in a sentence or two.

2.  Schoener  (1968)  collected  information  on  the  distribution  of two  Anolis  lizard species  (A .  opalinus and A . grahamii) to see if their ecological niches were dif- ferent in terms of where and when they perched to prey on insects. Perches were classified by twig diameter, their height in the bush, whether the perch was in sun or shade when the lizard was counted, and the time of day at which they were foraging. The observed data is given in the following contingency table:

Lizard species

Height   Diameter     Sun       Time      A . grahamii   A . opalinus

Assume we want to analyze this contingency table using loglinear models. Further assume we have a dataframe, say lizards, with variables H (height of perch), D (diameter of perch), S (whether perch is in the sun), T (time of day), Sp (observed species) and Count (number of observations in each category).

(a)  State which variables are explanatory variables and which are response vari-

ables for the purpose of this analysis.

(b)  State the minimal model. Is the minimal model a graphical model?

(c) This kind of analysis starts with the saturated model

glm(Count  ~  Sp  *  H  *  D  *  S  *  T,  data=lizards,  family=poisson)

and then successively remove certain interaction terms. List all interaction terms that we (potentially) have to test.

3. This question concerns the effect on political party identification of sex and race by U.S. voters. The data is given in the following table.

On pages 10– 11 of the appendix, you find the output of five models, named fm0, fm1, fm2, fm3 and fm4, that were fitted to these data using R. Use this output to answer the following questions.

(a) Draw a model lattice that shows how these five models are nested within each other.

(b) Which of these models is your preferred model? Justify your answer using

likelihood-ratio tests.

(c) For your preferred model, write down the fitted equation for the log odds of a person preferring ‘Democrat’ instead of ‘Independent’ . Take care to define all the symbols that you use.

(d) For your preferred model, find the fitted equation for the log odds of a per- son preferring ‘Democrat’ instead of ‘Republican’ . Take care to define all the symbols that you use. Except for the estimate of the intercept, interpret each estimate in this fitted equation in a sentence or two.

4.  Consider a random variable X with a binomial distribution with parameters n and π, i.e. X ~ Bin(n, π). Let x denote an observed value of X . The maximum likelihood

estimator of π is  =  . In this context, other parameters that are often of interest

are the odds θ =           and the log-odds ψ = log θ = log

(a) Write down expressions for E(X) and Var(X).

(b) Verify, using the delta method, that the approximate mean and variance of

1 _

E(ψˆ) ≈ ψ   and   Var(ψˆ) ≈        1       

respectively.

(c) Using the result from the previous part, conclude that the (estimated) standard error of ψˆ is given by ′  +  .

(d) Use the delta method to find expressions in terms of x for the approximate

mean and variance of θˆ =