Submit solutions to this question at the Q1 submission link

1.   [20 marks]

i)  [5  marks]   Consider a particle traveling in R3   along the curve with parametric equations

x(t) = te-3t,        y(t) = 3te-2t,        z(t) = 2te-2t,    t e [0, 1].

a)  Find the point P at which the velocity of the particle is parallel to the vector i.

b)  Find the equation of the plane orthogonal to the curve at P .

ii)  [5 marks]  The point (0, 0) is a critical point of the function f (x, y) = 2ax2 + (a _ 1)y2 ,

for every real value a.

a)  Find the values of the parameter a such that f has a saddle point at (0, 0).

b)  Find the values of the parameter a such that f has a local minimum at (0, 0).

c)  Find the values of the parameter a such that f has a local maximum at (0, 0).

iii)  [5 marks]  Let f (x, y) = x4 + y4 + 2y2 _ 2.

a)  Find the maximum directional derivative of f at (1, 1).

b)  Find the direction v = (a, b) so that the directional derivative of f along v at (1, 1) is zero, namely Dv f (1, 1) = 0.

iv)  [5 marks]  You are given the sets

A = {(x, y) e R2   : x2 + (y _ 1)2  < 1}

and

B = {(x, y) e R2   : x2 + y2  < 1}.

a)  Sketch the set S given by the intersection of sets A and B .

b)  Set up a double integral that represents the area of S . (DO NOT COMPUTE THE INTEGRAL.)

Submit solutions to this question at the Q2 submission link

2.   [20 marks]

i)   [6 marks]  Let

a)  Sketch D1   and D2  on separate Argand diagrams and for each set state if it is a domain. Explain your answer.

b)  Find and sketch the image of D1  under the mapping w = z2 .

c)  Find and sketch the image of D2  under the mapping w =     1   

ii)   [3 marks]

a)  Express log(1 _ ^3i) in Cartesian form.

b)  Hence find Log(1 _ ^3i) in Cartesian form.

iii)   [7 marks]  Suppose that

f (z) =

a)  Sketch and write down the three (maximal) regions with centre at z = 2 on which f (z) has a convergent Laurent (or Taylor) expansion in powers of z _ 2.

b)  Find the Laurent series expansion of f in powers of z _ 2, which is convergent at the point z = 0.

iv)   [4 marks]

a)  Let γ be the arc of the circle of radius 2, centred at the origin, that goes from 2 to 2i, in the anticlockwise direction. Evaluate   y  |z|2 dz and express the result in Cartesian form.

b)  Let Γ be any contour from _i to 2i that does not cross the negative real axis nor the origin.  Using the fundamental theorem of contour

integration, evaluate      1 dz and express the result in Cartesian form.

Submit solutions to this question at the Q3 submission link

3.   [20 marks]

i)   [5 marks]  Use the change of variables

x = r cos θ       y =    sin θ

to compute the double integral

I =        ╱x2 + 1、dx dy,

l

where d is the part of the ellipse {(x, y) e R2   : x2 + 4y2  < 1} contained in the first quadrant.

ii)   [4 marks] Let V be the region inside the cylinder of equation x2 +y2  = 1, between the paraboloid z = x2 + y2  and the plane z = 4.

a)  Express V in cylindrical coordinates.

b)  Set up the integral that represents the volume of V in cylindrical coordinates.

c)  Compute the volume of V .

iii)   [5 marks]  Let S be the section of the spherical surface x2 + y2 + z2  = 2

for which z > 1

a)  Sketch S .

b)  In the y-z plane, sketch the section of S for which x = 0.  The line z =  intersects the circle y2 + z2  = 2 at a point P on the right side of the y-z plane. Find the cosine of the angle between the z-axis and

_→

the vector OP .

c)  Parametrise S using spherical coordinates and write down the inte- gral that gives the area of S .

(DO NOT COMPUTE THIS INTEGRAL.)

iv)   [6 marks]

Consider the vector field F = z i + x j + y k and the surface S given by x2 + y2 + z2  = 4.

a)  Calculate the curl of F.

b)  Consider the curve of intersection √ of the surface S and the plane y = 0. Use Stokes Theorem to calculate    F . dr where √ is positively

C

oriented.

c)  Consider the curve of intersection √ of the surface S and a plane through the origin given by ax + by +cz = 0. Determine an equation

for the plane through the origin which MAXIMISES the flow integral F . dr.

C