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1.   [20 marks]

i)   [5 marks]  Consider a particle traveling in R3  along the curve r(t) = 12ti . t3j + (t2 + 4t)k,    t e R.

a)  Find the velocity and acceleration of the particle (as functions of t).

b)  Find all points where the velocity of the particle is perpendicular to the plane x = y .

ii)   [5 marks]  Use the method of Lagrange multipliers to find the minimum value of x + 2(y + z) on the sphere x2 + y2 + z2  = 36.

iii)   [6 marks]  Let h(x, y) be a differentiable function. Suppose that at the point (0, 1), the directional derivative of h in the direction i + j is 2^2 and the directional derivative of h in the direction i . j is .^2.

a)  Find the gradient of h at (0, 1).

b)  Find the directional derivative of h at (0, 1) in the direction i + 2j.

c)  What is the maximum value of the directional derivative of h at (0, 1), in any direction?

iv)   [4 marks]  Consider the sum of integrals

4    ^α                                           8    ^8尸α

f(x, y) dy dx +               f(x, y) dy dx

0   尸^α                                         4   尸^8尸α

a)  Sketch the region of integration.

b)  By reversing the order of integration, write the sum of integrals as a single integral.

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2.   [20 marks]

i)  [6 marks]  Let

S1  = {z e C : 0 < Arg z <    }

S2  = {z e C : |z . 1| < 1}

a)  Sketch S1  and S2 on separate Argand diagrams and for each set state if it is a domain. Motivate your answer.

b)  Find and sketch the image of S1  under the mapping w = z2 .

c)  Find and sketch the image of S2  under the mapping w =    1  

ii)  [3 marks]

a)  Express (^3 . i)2i  in Cartesian form.

b)  Hence, write Re(p.v.(^3 . i)2i).

iii)  [7 marks]  Suppose that

f(z) =

a)  Sketch and write down the three (maximal) regions with centre at z = .2 on which f(z) has a convergent Laurent (or Taylor) expansion in powers of z + 2.

b)  Find the Laurent series expansion of f in powers of z + 2 which is convergent at the point z = 1.

iv)  [4 marks]

a)  Let γ be the line segment from .i to 2.  Evaluate   & (  . 1) dz and express the result in Cartesian form.

b)  Let now Γ be any contour from .i to 2.  Using the fundamental theorem of contour integration, evaluate   Γ sinh(2z)dz and express

the result in Cartesian form.

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3.   [20 marks]

i)   [5 marks]  Use a change of variables to find the area of the region in the

first quadrant of the xy-plane that is bounded by the curves xy = 2,    xy = 3,    x = y,    x = 4y .

ii)   [5 marks]  Consider the solid region in the first octant of R3  that is

●  between the planes y = 0 and y = x;

●  bounded above by the cone z = 2^x2 + y2 ;

●  and inside the cylinder x2 + y2  = 1;

Set up a triple integral in spherical coordinates which gives the volume of this region.

(Do NOT evaluate the integral).

iii)   [4 marks]  Let S be the surface in R3  defined by the equation z = xy2 . Let Ω be the region in the first quadrant of the xy-plane bounded by the coordinate axes and the circle x2 + y2  = 4. Set up a double integral which

gives the surface area of the part of S above Ω .

(Do NOT evaluate the integral).

iv)   [6  marks]   Let C be the circle in R3  which is the intersection of the cylinder x2 + y2  = 1 with the plane z = 2. Let C be oriented clockwise,

when looking down from the positive z-axis. Consider the vector field F = (x3 + 2yz)i + (5xz + e女扌 )j + cosh(xy + z)k.

a)  Calculate the component of the curl of F in the k direction.

b)  Let S be the disk whose boundary circle is C .  Parametrize S, and find the corresponding normal vector at each point of S . (Note that the normal vector of a parametrisation is determined up to a sign).

c)  Use Stokes’ Theorem to evaluate the line integral    F · dr. C

(Hint: you should not have to do any complicated integration)

d)  Without doing any further calculation:  is there a scalar function φ : R3  → R such that F = Vφ? Explain.