Questions

(1) Question 1: Write the solution of the equation α\  = Aα when the matrix A is a constant n × n upper triangular matrix with no zero entries in the upper triangle and

(a) with distinct diagonal entries,

(b) one repeated diagonal entry,

(c) m repeated diagonal entries.

(2) Question 2: Write down the conditions for which the solutions of the equation

+ (a + 8 cos ≠)α = 0,                              a, 8 e C      are periodic. Determine the periods and write the formal solution.

(3) Question 3: Consider the following equation describing the conservation of total energy of a point mass in a polynomial potential V (α)

α˙2 + V (α) = E,

where E is the integration constant. Prove that the solutions to the above equation have no movable branch points iff deg V (α) < 4.

(4) Question 4: Write the solution of the equation

夕\\ _ 2α夕\ + 2a夕 = 0,                     α e C,                     a e R as a Frobenius series at α = 0.

PART II

Questions

(1) Question 1: Consider the following linear, first order PDE IVP.

at = a夕ax + bαay     a(0, α, 夕) = f (α, 夕)

where a and b are real constants and f is a real, analytic function of α and 夕 .

(a) Write down the solution to this PDE IVP, both as an operator acting on the initial condition, and as an explicit, computed formula in terms of the initial condition.

(b) Let a = _1 and b = 4, and f (α, 夕) = α2 _ 2α夕 .

(i) Write down the solution to the specific PDE IVP.

(ii) The characteristic a = 0, where a is the solution from part (b)(i) is a pair of lines intersecting at the origin. What is the angle of intersection between them as a function of ≠? Are the lines ever orthogonal? Justify your answer.

(2) Question 2:

(a) Does the following boundary value problem :

a(iv) = α2 (1 _ α),    a\ (0) = a\\\ (0) = a\ (1) = a\\\ (1) = 0

have a solution? Justify your answer.

(b) Find polynomials 夕2(α) and 夕3(α) of degrees two and three respectively so that the boundary value problems

a(iv) = 夕j(α),    a\ (0) = a\\\ (0) = a\ (1) = a\\\ (1) = 0,

have solutions for j = 2, 3. Justify your answer.

(c) What condition(s) must a continuous function f (α) : [0, 1] - R satisfy in order for there to be a modified Green’s function for the following boundary value problem:

a(iv) = f (α),    a\ (0) = a\\\ (0) = a\ (1) = a\\\ (1) = 0?

In the case that such a modified Green’s function exists, write down the mod- ified Green’s function for the boundary value problem. Justify your answer.