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MATH268: Assignment 3

Exercise 1  Consider {A(t)} with A(0) = 0 a Poisson process with rate λ .

Show that, for each m, n > 0, A(m + n) − A(m) follows Poisson distribution with parameter λn . [20 marks]

Exercise 2  We have  an M/M/1  queueing system with  arrival rate γ  > 0  and service rate τ > 0 .

(a)  What is the expected number of arrivals during a service time (also called service period)?

[15 marks]

(b)  What is the probability that no customers arrive during a service period? [15 marks]

Exercise 3  At the movie theatre ticket sale counters movie-goers wait in a single line for the first open counter. An average of 100 persons per hour enter the cinema. Each counter can sell tickets to an average of 45 clients per hour.  The cinema estimates that it costs £0.1 for each minute a person waits in line and estimates that it costs £20 per hour to keep a ticket counter open. Inter- arrival times and service times are independent and exponentially distributed.

(a)  How many ticket counters should be kept open in order to minimize the total expected

hourly  cost?   What is  the  minimal total  expected hourly  cost  (round to  three  decimal places)? [15 marks]

(b)  What is the minimum number of counters which should be open to ensure that at most

5% of all clients will spend more than 5 minutes in line? [15 marks]

Exercise 4  People access a particular website according to a Poisson process at a rate of 80 per hour.  The average time spent by each person on the website is 15 minutes, independently of each other.  What is the long run fraction of time (round to four decimal places) when the website is accessed by more than 25 persons at the same time. ?  (You need to explain how you obtained your answer to get full mark.) [20 marks]