1.  (15 points)

(a)  lim

(b) Find the value of a so that

x(l)x ln ╱ 1 + 、  = e2

(c) Find the number c guaranteed by the Mean Value Theorem for the function f (x) =x(1) on the interval [1, 3].

(a) 2^3                  (b) ←             (c) ^2           (d)

(e) ^3           (f) 2           (g) 3^2                  (h) none of these

2.  (15 points)

(a)  Sketch the graph of a continuous function f (x) that satisfies all of the following:

● f\ (x) > 0 only when 1 < x < 3 or x > 8

● f\ (1) does not exist

● f\ (x) = 0 only when x = 3 or x = 8

● f\ (x) is increasing on the interval (5, &)

● f\ (x) is decreasing on the intervals (一&, 1) U (1, 5)

(b) If a continuous function g(x) has

g\ (3) = 0       and       g\\ (x) = x 一

20

^x2 + 16

Then, by the Second Derivative Test, g(x) must have must have

a(n)                         at x = 3.

3.  (15 points)

e…

(a) Let g(x) =       ln(ln t) dt, which of the following is g\ (x):

2

(a) 

(e) x

(b)

(f) ex ln(x)

(c) ex

(g) ln(x)

(d) ln(ln x)

(h) none of these

(b) Newton’s method is applied to f (x) = x4 + x3  一 20 = 0 starting at x1  = 2, what is the value of x2 ?

(a) 1.909       (b) 2.012       (c) 1.903       (d) 2.231       (e) 1.877 (f) 1.986       (g) 2.101       (h) 1.887       (i) none of these

(c) Below is the graph of a particle velocity (in meters/second). Find the displacement and distance traveled for 0 ≤ t ≤ 4.

1

1              2              3              4

-1

4.  (15 points) Olivia has just baked a batch of oatmeal raisin cookies, which are Nina’s favorite. Unfortunately, Nina is on a sailboat 12 miles away from shore and Olivia is 17 miles up the coast. If Nina can sail at a rate of 5 miles/hour and can run at a rate of 13 miles/hour, to which point P on the shore should she sail?

12 miles

Nina 

17 miles

5.  (15 points)

c                                                c                                                            b

(a) If      f (x) dx = 2 and      f (x) dx = 5 , what is      2f (x) dx?

a                                               b                                                            a

(a) 一14           (b) 一7           (c) 一6           (d) 一3

(e) 3           (f) 6           (g) 7           (h) none of these

1

(b)  Compute   _1  ╱ 1 一 ^1 一 x2 、  dx

2

(c)  Compute   1    ╱8x3 + 3x2 、  dx

6.  (15 points)

(a)  Compute     6x5 (x6 + 17)22  dx

(b)  Compute                  dx

e4x     

(c)  Compute      e8x + 1 dx

7.  (10 points) True or False.

a)      If f\\ (1)  < 0 then f (x) has a local maximum at            T      F

x = 1.

b)

If f (x) has an inflection point at x = 2, then f\ (x) must have a relative extreme point at x = 2.

T      F

c)      If f\\ (3) = 0 then the concavity of f changes at            T      F

x = 3.

d)

e)

If f (x) is decreasing when x < 4 and f (x) is in-

creasing when x  >  4, then f (x) has a relative

minimum at x = 4.

If f (x) and  f\ (x) are both continuous and dif-

ferentiable on  [1, 3] and f (1) = 1, f (2) = 2 and

f (3) = 3 then there exists a c between 1 and 3

such that f\\ (c) = 0