Questions  of the  kind  that follow  will  appear  on  the  Midterm  Exam:   they  require  the  use  of simple no- arbitrage  arguments which the problems that follow will teach you to  use .   You will find MM Lectures  9  and  10 useful.   We  also  solve for a  contingent market  equilibrium  of an  economy with log utility functions .

1. Consider an interval of time [0, T] and the current date t e [0, T]: we think of [0, T] as a relatively small interval of time in the subset [0, o) during which we assume there are no dividend payments on the equity.  For t e [0, T] let t denote the current time and let Qt(e)  denote the known current

price of equity: we let T(e)  denote the random price of equity at date T. Let’s think of T(e) = T(e)  as

The other securities traded are the riskless bond and options on the stock expiring at date T. Let Qt(b)  denote the price of the bond at date t and let VT(b)  denote its payoff at date T with VT(b)  = 1. We assume the interest rate is constant so that Qt(b)  is defined in terms of the interest rate T by the relation Qt(b) = e←r一T ←t/ .

We consider put and call options with exercise price K, also called the strike price: a European call option is a contract which gives the right to buy the stock at date T at the price K; a European put  option  is a contract which gives the right to sell the stock at date T at the price K .   An American call option is a contract which gives the right to buy the stock at any date at or before date T at the price K, while an American put option is a contract which gives the right to sell the stock at any date at or before date T at the price K . Let Qt(c)  and Qt(p) denote the date t prices of the

European call and the put options, and let Qt(ca)  and Qt(p)a  denote the date t prices of the American call and the put options, all with the common exercise price K .

(a)  On a graph draw the payoffs of the call and put options as a function of the equity price realized at date T.  On the same graph draw the payoff of the equity as a function of its date T price (i.e.  the diagonal).  It will be convenient to use this graph to give a geometric interpretation to questions b, c, d.

(b)  Prove the put- call parity  relation for European options.  Give a geometric interpretation of this result using the figure in (a).

(c)  Show that the following put-call inequality holds for American options

Qt(e) _ K s Qt(ca) _ Qt(p)a  s Qt(e) _ KQt(b)

(d)  Show that if K1 s K2 then Qt(c)1 2 Q

(e)  Show that Qt(b)(K2 _ K1) 2 Qt(c)1 _ Q

(f)  Show that the price of a call option is a convex function of its striking price, i.e.  if K1  and K2  are the striking prices of two different options and if a third option has a striking price Kλ  = λK1 + (1 _ λ)K2  then Qt(c)入   s λQt(c)1  + (1 _ λ)Qt(c)2   with obvious notation.  [Hint:  find a portfolio which gives a larger payoff than the option with striking price Kλ].  Explain the intuition for the result.

(g)  Consider the special case where T = 1 and there are only two periods, t = 0, 1.  If there are 3 or more states of nature at date 1 then given only the equity and the bond, the markets are incomplete and it is not possible to derive a unique price Q6(c)  for a call option. Prove the following bounds for the price of the call option

max{Q6(e) _   K    0} s Q6(c) s Q6(e)

(h) Note that the inequality in (g) may only imply rather weak bounds on the price of the call, as the following example shows.  Suppose the price of equity is 100 at date 0, 120 in state 1, 110 in state 2, 100 in state 3, let the interest rate be 7 % and suppose the strike price is K = 107: find the interval in (g).

(i) Use the the more precise information implied by the equivalence of no-arbitrage and the existence of state prices to find a more precise interval in which the price of the option must lie.  Show that the length of this interval is about 1/50 of the length of the interval given in (h). Explain.

2.  Option pricing with 2 states and 2 periods. Consider the model above in which there are S = 2 states of nature at date 1. We think of these as primitive shocks which affect the price of the stock at date 1: the first is “up”, the second is “down” (good news and bad news). Let R = 1 + r denote the return on the riskless bond with payoff Vb = (1, 1) at date 1 and let u and d denote the returns on equity in the “up” and “down” states respectively, with 0 < d < u.  Let the date 0 price and the two prices at date 1 for the equity contract be given by

Q6(e) = Q,    Qu(e) = uQ,    Qd(e) = dQ

Since no dividends are paid on the equity, the payoff matrix at date 1 for the bond and the stock

is given by

V = [Vb  Ve] =  ┐

(a)  Show that there are no arbitrage opportunities if and only if d  < R  < u.   Interpret this condition.

(b) Exhibit an arbitrage opportunity when (a) is violated.

(c) In what follows assume that (a) holds.  Find the vector of state prices π = (πu, πd) for the two states at date 1.

(d) Find the price Qc  at date 0 of the call option on the stock with exercise price K . Explain the idea underlying the method you are using: try to be as clear and thorough as you can!

(e)  Show that the formula in (d) can be written as

Qc = µu  + µd ,    with µu  > 0, µd  > 0,  and µu + µd = 1

How do you interpret this expression?

(f) Here’s another way of pricing the call.  Find the portfolio (∆, B) of the stock and the bond which replicates the date 1 payoff of the option. Use this to deduce the price Qc : check that it coincides with what you found in (d).

(g) Here’s yet another way of pricing the call !  Show that there is a portfolio which consists of buying ∆ units of stock and going short one unit on the call option which generates a riskless income stream at date 1: use this hedge to price the call.  Give the intuition underlying the hedge.

3. Suppose the equity price is Q6(e) = 40 and is expected to go up by 10% or down by 10% for each of the next two three-month periods.  Suppose the interest rate is known to be 12% per annum with continuous compounding for each period. Find the value of a six-month European put option with strike price K = 42, and the value of a six-month American put option with the same strike price.

4.  In  question  5 below we  will calculate  a  contingent market  equilibrium:  to  this  end we  begin  by deriving a preliminary result on demand functions  of agents with log utility functions vi . There is a simple piece of gymnastics that all of you should know and that only needs to be done once: for ever after life is simple.  Consider a one period economy s(R︰L, u, ω) with L goods and with spot markets for these goods.  Suppose that an agent has a so-called  Cobb Douglas utility function for bundles of the L goods i.e.  v(x1 , . . . , xL ) = γ1 log(x1 ) + . . . + γL log(xL ).  Suppose also that the agent has a vector of initial endowments of the L goods, ω = (ω1 , . . . , ωL ) e R︰ì(L)  and faces spot prices for the goods p = (p1 , . . . , pL ) > 0. Show that the agent’s demand function (i.e. the solution of his utility maximizing problem over his budget set—it should be clear what his budget set is in this context) is given by f (p, pω) = (f1 (p, pω), . . . , fL (p, pω)) with

fe(p, pω) = ╱  \ ,    l = 1, . . . , L

Give a simple interpretation of this result and explain the proportion of his income that the agent spends on each good.

5.  Now  lets  calculate  the  contingent market  equilibrium  of a  stochastic  economy  in  which  agents have log preferences. Consider a one-good two period-economy s(R︰Sì1 , u, ω) in which agents have log Bernouilli utility functions

S

ui(xi) = log(αi + x6(i)) + δ      ρslog(αi + xs(i)),    αi  e R︰,    i = 1, . . . , I

s≥1

where δ is the common discount factor of the agents, and 0 < δ s 1. Suppose agents can buy and sell on contingent markets: let π = (1, π1 , . . . , πS ) denote the vector of present-value prices. Define ρ˜ = (ρ˜6 , ρ˜1 , . . . , ρ˜S ) by ρ˜6  = 1, ρ˜s  = δρs,  s = 1, . . . , S, and ∆ =     s(S)≥6 ρ˜s .  Let  = (1, 1, . . . , 1) e R︰Sì1 . In this problem we will be a bit sloppy about the non-negativity constraints for consumption,

and assume that the admissible consumption for agent i in any state is the set of ξ e R︰ such that αi + ξ > 0.

(a) Using the change of variable Xs(i)  = αi + xs(i),  s = 0, . . . , S and question (4), show that agent i’s demand function is given by

xs(i) = f (π, πωi) =s(i)  / 、  _ αi,    s = 0, 1, . . . , S,    i = 1, . . . , I

Interpret.

(b)  Derive the aggregate excess demand function Z : R︰ → R︰Sì1  defined by

I

Z(π, ω) =      (fi(π, πωi) _ ωi)

i≥1

(c) Let  S  =  3  (three  states  at  date  1).   Explain why we  only  need to  solve the  equations Zs(π, ω) = 0, for s =  1, 2, 3, to find the equilibrium present-value prices.   [Hint:  use  the fact  that  every  agent  satisfies  his  budget  equation:   add  them  and  then  notice  that  this  im- plies that the aggregate excess demands across the states are not independent.  This is a very important property to understand.]