Task 3: Cubic interpolation (35%)

Write a Matlab function called cubicfit to do cubic interpolation.  It should take as input (i) a 4-element row vector of x values, (ii) a 4-element row vector of y values, and (iii) a scalar value . It should fit a cubic polynomial through the given data and evaluate that polynomial at to produce a single scalar output value (which you might call yˆ). You could use Lagrange’s interpolation formula. Thus, it should be possible to call your function with, for example,

studentid  =  123456789;                 %  or  studentid  = myID;

[x,  y]  = mydata(studentid);

xhat  =  3 .4;                                      %  or  any  other  value

yhat  =  cubicfit(x(2:5),y(2:5),xhat);

You should think of ways to test your function to convince yourself that it is working correctly, as the markers will read and test it.

Task 4: Root finding (45%)

Consider the cubic curve defined by fitting through the four data points x(2:5), y(2:5), as in the above example.  We wish to determine where this cubic passes through y = 0 between x(3) and x(4).  Write a Matlab function called findroot that uses the regula falsi method (a bracketing method described in the lecture notes) to approximate the root.

The function findroot should take as input a pair of x values, xl0  and xr0, as a first guess for the bracketing interval, and provide as output a single value of x, the approximate root. Your function should stop and return its result, say x* , when it finds a value of the cubic that is smaller in magnitude than 10_5 , that is |f (x* )| < 10_5 . It should output the corresponding value of x* .

Thus, it should be possible to call your function with, for example,

studentid  =  123456789;

[x,  y]  = mydata(studentid);

xl0  =  x(3);

xr0  =  x(4);

xstar  =  findroot(xl0,xr0);

%  or  studentid  = myID;

%  or  other pair  of  values

Your function findroot will need to call mydata to obtain the x and y values for the cubic fit, and also call your earlier function cubicfit to obtain values of the cubic as needed.

You might want to base your function findroot initially on the code given in the lecture notes for the bisection method. Note, however, that the stopping criterion should be based on the value of the cubic function, not the size of the bracketing interval.  Once you are satisfied it is working you can convert it to regula falsi by a relatively small change.

Again you should think of ways to test your function to convince yourself that it is working correctly.

Marks

Your code will be tested in various ways by the marker to check that it gives correct results.  It is important that you submit your code in the form of Matlab functions, exactly as instructed, since we will partly automate the testing of your code.  Pay careful attention to the input and output arguments of your functions, including their order, as well as the function names.

Marks will be awarded for well structured and commented code, as well as correct answers when tested.

Important note: This is an individual project and while you are welcome to discuss it with your peers and with tutors, your work and coding must be your own and not copied from each other, nor from other sources, such as the internet.  If you do find web-based resources and code, then of course you can study these and use them to inspire how you write your own scripts and functions, but you must not copy them (or copy and then make changes, or similar).  You can however take Matlab scripts or functions from the lecture notes and related materials on ELE, and use and modify these freely.

Submission

Submit only the following files:

● your Matlab function myID .m (task 1),

● your plot of y = f (x) in pdf or png format, in yplot .pdf or yplot .png (task 2),

● your Matlab function cubicfit .m (task 3),

● our Matlab function findroot .m (task 4).

The function files should be correctly named. The files should be submitted via the eBART system. Note: the eBART system will only allow you to submit a single file, so please zip your files into a single file before submission as follows: