Time allowed: 3 hours

Instruction: There are 8 problems in this exam. Answer ALL questions. Details must be shown clearly to receive full credits.

Problem 1 (12 marks)

(a) We let X and Y be two random variables.

(i)         If X and Y are independent. Show that E[X|Y] = E[X].

(ii)        Show that the converse of the statement is not true by providing a counter-

example.

(b) We let X, Y be two random variables such that E[X2] < ∞ and E[Y2] < ∞ . Suppose     that E[X|Y] = Y and E[Y|X] = X, prove that X = Y almost surely (i.e. P(X = Y) = 1).

Problem 2 (14 marks)

(a) We let X1, X2, X3, … be a sequence of independent and identically distributed random   variable such that each Xi has standard normal distribution (i.e. Xi ~N(0,1)). For any     n = 1,2, …, we define Sn = X1 + X2 + ⋯ + Xn and the filtration ℱn = G(X1, … , Xn).      Using the definition of martingale, determine which of the following processes are         martingales/super-martingales/sub-martingales with respect to {ℱn}n≥1? Complete the following table (with Yes/No) and explain your answer.

(b) We consider a probability space (Ω, ℱ, P) with filtration {ℱt }t≥0 . We let Bt be the    Brownian motion and Nt be the Poisson process with parameter 入. We assume that both Bt and Nt are {ℱt }-adopted.

(i)          Determine if the process Xt = eBt− is a martingale.

(ii)         Determine if the process Yt = eaNt−入t(ea −1) is a martingale for any a ∈ ℝ .

Problem 3 (10 marks)

For any 0 < a < b, we let a = t0 < t1 < t2 < ⋯ < tN = b. We let wt be the standard Brownian motion. Show that

N−1                    1       ti+1                 2         b − a

(Hint: Think about some properties of stochastic integral studied in the lecture note .)

Problem 4 (12 marks)

We let wt be the standard Brownian motion

(a) Compute the integral  wt5 dwt . Leave your answer in term of T and the integral ? ? dt. Hence, determine E[wt6].

(b) Solve the following stochastic differential equation:

dXt = (√1 + Xt(2) + Xt ) dt + √1 + Xt(2)dwt,

where wt is standard Brownian motion.

Problem 5 (10 marks)

We let {Xn}n≥1 be a stochastic process such that E[|Xn |] < ∞ for each n ≥ 1, show that Xn can be expressed as Xn = Yn + Zn, where Yn is a sub-martingale and Zn is super-martingale.

Problem 6 (15 marks)

We let wt be a Brownian motion, and define

Bt = ∫ sign(ws)dws

1   if x ≥ 0

−1 if x < 0.

(a) Show that Bt is a Brownian motion.

(b)  Show that E[Bt wt] = 0. In other words, Bt and wt are uncorrelated. (Hint: Apply

Ito’s lemma on the function f(Bt, wt) = Bt wt .)

(c)  (i) Show that dwt2 = 2wt dwt + dt. (ii)  Hence, verify that

E[Bt wt2] ≠ E[Bt]E[wt2].

(*Note: This result reveals that Bt and wt are not independent. Therefore this problem provides an example that uncorrelated random variables are not necessarily                    independent.)

Problem 7 (15 marks)

We let wt(1), wt(2), … , wt(d) be d independent Brownian motion and let a and G be positive constants. For j = 1,2, … , d, let Xj) be a stochastic process which satisfy

dXj) = − Xj)dt +  dwt(j) .

(a) Show that

Xj) = e −bt [Xj) +  t e bs dws(j)].

Given a fixed value of t, determine the distribution of X

(b) We define

Rt =  (Xj))2 .

j=1

(i)         Show that Bt = ∑j(d)=1   dws(j) is a Brownian motion. (ii)        Hence, show that Rt satisfies

dRt = (a − bRt)dt + a√Rt dBt,

where a =  .

(c)  Using the result in (b)(ii), show that

Rt = e −btR0 +  (1 − e−bt) + a te −b(t−s)√Rs dBs .

Problem 8 (12 marks)

We consider a contingent claim which pays an amount f(ST) at time T, where ST is the price of a risky asset (stock). Suppose that the current price of this contingent clam, denoted by V =     V(t, St), satisfies the following equation:

+              + (r − q)St         − (r + ℎ)V = 0,

where V(T, ST) = f(ST), r, ℎ, q, a are positive constants.

0 ≤ t ≤ T,