(1) Draw the number line representation of the three sets A = (0, 5), B = [− 1, 2) and A∩B .

(2) For what values of x is the inequality

−2 < 9x + 7 ≤ 25

true?

(3) Find the domain and range of the function

x − 2 .

(5) Write the absolute value function f(x) = |x2  − 1| as a piecewise function.

(6) The table describing the values of the linear function f(x) = mx + b is given below

From this table find the values of m and b. Then identify missing values in the table.

(7) Using algebra and the limit laws find

(x − 3)(x + 2) .

(9) Beginning with f(x) = e北 , list the successive transformations (in correct order) that

have been made on f such that it becomes

f(x) = −e3北+6 + 4

(10) Find the inverse function f− 1 (x) of the function f(x) = loge (3x + 1). State the domain

(11) Write the following expression as a single logarithm

2 ln (x ) + ln(3x − 4) − ln (2x2 + 9) .

(12) On the circle of radius   and centre at the origin lies the point (x,y) =  (  , − ). What is the angle in radians (measured counter clockwise from the origin) represented

(13) Find all real solutions of the equation

2 sin(2x) + 1 = 0.

(14) Using first principles to find the first derivative of the function:

f(x) = x2 .

(15) What is the equation of the tangent line at t = 1 to the graph of the function

f(t) = 2t5 − 5t3 + t2 + 1

?

(16) Find the first derivative of the function

f(x) = cos ( (x3  − 4x) 2 ) .

(17) On what interval(s) is the function

f(x) = x7  − 2x5 + 1

concave up?

(18) Find the antiderivative of

f(x) = 5x4 + x3 + 5.

(19) Find the indefinite integral

\ 5x3 e北4  dx.

(20) Find the value of the definite integral

π

\0 2  cos(x)sin(x) dx.

Section B

(1) A fruit farmer is growing two crops, bananas and mangos.  The cost of planting and caring for the banana crop is $6 000 and the price per kilogram is $9 per kilogram. The cost of planting and caring for the mango crop is $30 000 and the price per kilogram is $25. The independent variable, x (kg) is the yield per hectare.

(a) Write a linear equation for the profit in growing bananas and draw a graph repre- senting.

(b) Write a linear equation for the profit in growing mangos and draw a graph repre- senting.

(c) Which of the two equations gives a greater profit for a yield of 1000 kilograms per hectare?

(d) Which of the two equations gives a greater profit for a yield of 2000 kilograms per hectare?

(e) For what specific yield per hectare is there equal profit from both banana and mango crops?

(2) Consider the rational function:

x2  − x − 1

(a) Find the x and y-intercepts for f(x).

(b) State the vertical asymptotes of f(x).

(c) State the domain of f(x).

(d) Using polynomial long division, find any horizontal or slant asymptotes of f(x). (e) Calculate the first derivative of f with respect to x, f\ (x).

(f) Write down the intervals on which f(x) is increasing and the intervals on which f(x) is decreasing.

(g) Sketch the graph of y = f(x) using the information found in parts (a)-(f). Include all axes-intercept(s) and asymptotes in your sketch.

(3) A population of fish in a reservoir is governed by the equation F(t) =

where at t = 0 (years) F = 50.

(a) Given that F = 100 after one year, find the values of M and K (b) Sketch the graph of y = F(t) showing any asymptotes.

(c) At the same time a second ecological study was conducted to observe the population size of algae in the same reservoir. It was found that the algae population size varied periodically and could be modelled by the function

A(t) = 15000 + 6000 cos( t) for t ≥ 0

where t represents the number of months since the start of observations, t = 0, which was the exact same time as the first ecological study.

(i) Given the the function A(t) use differential calculus to identify at what rate the algae population size changes four months after the start of observations.

(ii) Determine the average number of algae over the 72 month time interval since the start of observations.

Remember that the average value of a function f(x) over an interval of [a,b]

is given by

avg(f) = b  a \a b f(x) dx.

(4)   (a) The operating costs of a freight train is described by  C(x) = 14 −  (dollars per kilometre)

where the speed of the train is x kilometres per hour.  Suppose the freight trains are restricted to speeds between 20 and 30 kilometres per hour. What is the most economical speed at which to operate the train on a 800 kilometre line.

(b) A closed box is to be constructed from a rectangular sheet of cardboard measuring 10 centimetres by 20 centimetres.  This is done by cutting out the shaded square areas indicated on the the diagram below, then folding along the dotted lines and then gluing the overlapping flaps together.  What are the dimensions x, y and z that maximise the volume of the box V = xyz .

You are not required to find the maximum volume.

z

20 

x                    y