1. In this question, we will consider the effects of fluctuations in the business cycle (i.e. consumption) on the price of risk-free bonds.  A bond can be purchased at time t for price Pt , and repays a value of 1 in the following period (t + 1).

Study the following figures describing the path of consumption over time. Over time, an investor’s beliefs about the path of future consumption vary. Specifically, the investor’s beliefs differ between the shaded regions and the non-shaded regions.  In the shaded

regions  (i.e.   the area up until the thick red vertical line) an investor believes that consumption will be constant forever at the level C . In the non-shaded regions (i.e. in

the area from the red line onward) the investor learns about the evolution of the entire future consumption path.

(A) In Figure 1, a recession occurs at time t2 . At time t1 , the investor learns that that the recession will occur.  How does the price of the bond, Pt , evolve over time?  Is the bond price pro-cyclical or counter-cyclical? You may use figures, equations, and words to explain your answer.                                                                (10 Points)

Ct

C

C

Figure 1:

t0         t1         t2         t3

Time (t)

(B) In Figure 2, a recession occurs at time t2 . At time t1 the investor does not yet know that the recession will occur. At time t2 , the investor learns that the recession has already begun. How does the price of the bond, Pt , evolve over time? Is the bond price pro-cyclical or counter-cyclical? You may use figures, equations, and words to explain your answer.                                                                               (10 Points)

Figure 2:

t0         t1         t2         t3

(C) In Figure 3, at time t1  the investor believes there is an increase in uncertainty over possible outcomes for consumption at time t2 . The investor believes that with equal probabilities, any one of the consumption outcomes C1 , C2 , C3 , C4 , C5  may occur at time t2 .   At time t2 , the uncertainty is resolved and consumption is revealed to be Ct2   = C5 .  How does the price of the bond, Pt , evolve over time?  Is the bond price pro-cyclical or counter-cyclical? You may use figures, equations, and words to explain your answer.                                                                               (15 Points)

t0         t1         t2         t3

Time (t)

2. (A) Consider a homeowner that would like to use a mortgage to finance the purchase of a house, and a bank that is deciding whether to lend to this homeowner.  Why might a bank charge higher interest rates on mortgages with larger loan-to-value ratios? Provide a brief explanation in words.                                          (7 Points)

(B) A potential home-buyer in Sydney is considering buying a house for $1 million. This buyer will require a mortgage to purchase the house.  Suppose a bank offers a maximum loan-to-value ratio of 80%.   How much can the home-buyer borrow from the bank?  Suppose the house price rises by 10% - how much can the home- buyer borrow now? Finally, how much does the bank need to reduce the maximum loan-to-value ratio to ensure the home-buyer borrows no more than they could have

borrowed at the original house price of $1 million?                                 (9 Points)

(C) A potential home-buyer in Sydney is considering buying a house for $1 million. This buyer would like to use an interest-only mortgage to purchase the house.  In this case, when the home-buyer borrows a mortgage of size B at net interest rate T , then the home-buyer only repays T x B each period. Suppose a bank offers a maximum payment-to-income ratio of 30% for this mortgage. Let the interest rate on the loan be T = 0.05, and the home-buyer’s income is Y = $100, 000 per year.  How much can the home-buyer borrow from the bank? Suppose the home-buyer’s income rises by 10% - how much can the home-buyer borrow now? Finally, how much does the bank need to reduce the maximum payment-to-income ratio to ensure the home- buyer borrows no more than they could have borrowed at their original income of $100,000?                                                                                                   (9 Points)

3. Consider the problem of a household purchasing a house and borrowing to finance the cost of purchase:

max   log(C1 ) + β log(C2 )

C1,C2 ,B

s.t.   C1 + P1 H1  = Y1 + B

C2 + (1 + r)B = Y2 + P2 H

The household pays for the house in period 1 at price P1  and sells the house in period 2 and price P2 . The household borrows B in period 1 to finance the purchase of the house and repays the mortgage with interest in period 2, (1 + r)B .

(A) Write down the inter-temporal budget constraint for this household.     (3 Points)

(B) Write down the household’s first order conditions, and solve for the optimal consumption

choices C1  and C2 .                                                                                    (7 Points)

(C) Now suppose that the household’s borrowing is constrained by a Payment-to-Income Ratio constraint. Define the payment-to-income ratio as a function of borrowing B , net interest rate r, and period 2 income Y2 :

rB

PTI =

Y2

This ratio is restricted by a maximum payment-to-income constraint, so that the household problem is now:

max   log(C1 ) + β log(C2 )

C1,C2 ,B

s.t.   C1 + P1 H1  = Y1 + B

C2 + (1 + r)B = Y2 + P2 H

rB

Y2

Rewrite this household problem in terms of C1 , C2 , and PTI .  To do this, rewrite the budget constraints to eliminate B so that the constraints are instead functions

of the PTI decision variable.                                                                    (5 Points)

(D) Draw the period 2 budget constraint on a figure with PTI on the X-axis and C2  on the Y-axis. Now suppose that the household would like to borrow so much that it is constrained by the maximum PTI ratio. That is, the household’s optimal choice of PTI is: