Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH253 Week 3 Tutorial

This tutorial sheet is related to material covered in chapters 3, 4, 5 and 6.  Some of the questions will be discussed in On Campus Workshop in Week 3. Please study the chapters 3, 4, 5 and 6 before attending the On Campus Workshop in Week 3.

Solutions will be available on Canvas on Friday at 5pm.

1.  Suppose that the weight of a bag of potato chips (in grams) is a normal random variable with unknown mean µ and variance σ 2  = 100. A random sample of 75 bags has the mean 245 grams. Construct a 90% confidence interval for µ .

Test, at the 10% significance level, the hypothesis H0  : µ = 250 versus the alternative H1  : µ  250.

2.  At a certain production factory, the diameters of ball bearings follow a normal distribution with mean µ and variance σ 2 , both unknown.  Find a 95% confidence interval for the population mean if a sample of

28 gives mean 3.001cm and standard deviation 0.004cm. Interpret this interval.

Use an appropriate test to find out whether the population mean of the diameters is above 3cm.

3.  A random variable has a normal distribution with mean µ and known variance σ 2  = 9. The null hypothesis H0  : µ = 20 is to be tested against the alternative hypothesis H1  : µ > 20 using a random sample of size n = 25.

(a) If we require the probability of making a Type I error to be 0.05, what would be the rejection rule based on the sample mean?  (That is, how big must the sample mean be for us to reject H0 ?)

(b) What would be the probability of Type II error with the rule found in (a) above when the true mean is µ = 21? What is the power of this test at µ = 21?

(c) It is decided instead that the null hypothesis will be rejected if the sample mean is more than 21.4. Compute the probability of a Type I error under this rule.

4.  A random variable has a normal distribution with mean µ and known variance σ 2 . Consider the hypothesis test H0  : µ = µ0 versus H1  : µ > µ0 . Let n be the sample size, X be the sample mean, α be the significance level, 1 - β be the power.

(a)  For µ0  = 30, σ 2  = 5, n = 6, compute the value of X that would cause us the reject the null hypothesis in favour of the alternative hypothesis at the 5% level. Determine the power of this test to detect an increase of µ by 1 unit.

(b)  For µ0   =  17, σ 2   =  100, X  = 21, compute the value of n that would cause us to reject the null hypothesis in favour of the alternative hypothesis at the 10% level.

(c)  For µ0  = 111, σ2  = 40, compute the value of n that would have an 70% power to detect an increase of 3 units at the 5% significance level.