Problem 1

If ZT Z = 0, show that Z = 0.

Problem 2

Let AAT  = UΛ1 UT  and AT A = VΛ2 VT  be the eigenvalue decomposition of AAT  and AT A where U ∈ Rmxm  and V ∈ Rnxn  are orthonormal matrices.

┌ λ 1

' ' '

'

' ' ' '

'

┌ λ 1

' ' '

'

' ' ' '

'

where λ 1  > λ2  > λ3  > . . . > λr  > 0.

2

. . .

λr

0

0

2

. . .

λr

0

0

┐

'

'

'

'

' ,

'

'

'

'

. . .'

┐

'

'

'

'

' ,

'

'

'

'

. . .'

Find the SVD decomposition of A (both SVD and compact SVD).

Problem 3

Determine the SVD of

┐

and

┐ .

Problem 4

A = U ΣVT  is a SVD decomposition.  Find the polar factorization of A where A = PQ, where P = PT  and Q is orthonormal.