Study 1:  (50 points)   Extracorporeal membrane oxygenation (ECMO) is an exter- nal system for oxygenating the blood based on techniques used in cardiopulmonary bypass technology developed for cardiac surgery. In the literature, there are three well- documented clinical trials on the evaluation of the clinical effectiveness of ECMO, the Michigan ECMO study (Bartlett, et al.  1985), the Boston ECMO study (Ware, 1989), and the UK ECMO trial (UK Collaborative ECMO Trials Group, 1996).

The UK ECMO trial used randomized allocation with equal proportions, and there were 93 patients in the ECMO and 92 in the conventional treatment for a total of 185. Prior to discharge from hospital, there were 28 deaths in the ECMO treatment and 54 deaths in the conventional treatment.  We will use pA   = 65/93 and pB   = 38/92 as the estimated success probabilities of the ECMO and the conventional treatment, respectively.

We would like to compare treatment A (ECMO) and treatment B (the conventional treatment).  Redesign the experiment based on the following information:  (i) based on provious information pA  = 65/93 and pB  = 38/92; (ii) two-side test with level 0.05; and (iii) power 0.8.

(a).   Calculate the  sample  sizes  for two  situations:   (1)  p  =  1/2  and  (2)  p  = ^pA /(^pA  + ^pB ),  by using asymptotical normality  (assuming the test statistic is asymptotic normal distributed.).

(b). Based on your sample size of (a) (2) (p =^pA /(^pA +^pB )) and 1000 repli- cations. For the following six randomization procedures:

(i) Complete randomization with probability 0.5;

(ii) The randomized play-the-winner rule (5,5) (with 5 A ball and 5 B ball to start);    (iii) The doubly adaptive biased coin design with Hu and Zhang’s allocation function (3 = 0) and target allocation p =^pA /(^pA +^pB );

(iv) The doubly adaptive biased coin design with Hu and Zhang’s allocation function (3 = 2) and target allocation p =^pA /(^pA +^pB );

(v) The doubly adaptive biased coin design with Hu and Zhang’s allocation function (3 = 2) and target allocation p = qB /(qA + qB );

(vi)  The  ERADE  (Hu,  Zhang  and  He,  2009)  with  a  =  0.5  and  target  allocation p =^pA /(^pA +^pB );

We would like to known the number of patients in treatment A, the total failures and the power of tests.  Please report their averages and its standard deviations, and the power in Tables. Based on your numerical results, compare the six procedures and discuss their advantages and drawbacks.

(c). Based on your study in (b), recommend one randomization procedure from the six procedures. Please explain why you recommend this procedure.

Study 2:  ( (50 points), You may use the ”carat” package for this study) Write a compenhesive report about following A/B testing: We would like to compare treatment A (a new treatment) and treatment B (a placebo). Design the experiment based on the following information: two covariates: medical conditions and smoke status, with 2 and 2 levels respectively, resulting in 4 strata; The covariates’ distribution is replicated in the following Table 1.

Table 1: Distribution of Covariates

two covariates

good health condition; smoker        good health condition; non-smoker risk health condition, smoker

risk health condition, non-smoker

3/20

10/20

5/20

2/20

a). We would like to known the balance properties of these four procedures based on 1000 simulations. Please report your results similar to the Tables 3-6 of the Section 5.3.1 in the lecture notes. Based on your numerical results, compare the four procedures and discuss their advantages and drawbacks for three different sample sizes: n = 30, 60, 120. n patients enter the trial sequentially and their covariates are independently simulated from the multinomial distribution in Table 1. We use the same r = 0.80 and block size 4. The weights are specified in the following way:

- Hu and Hu’s procedure (HH): wo  = ws  = 1/5 and wm,i  = 3/10, i = 1, 2.

- Pocock and Simon’s procedure (PS): wo  = ws  = 0 and wm,i  = 1/2, i = 1, 2. For the following four randomization procedures:

(i) Complete randomization with probability 0.5;

(ii) Stratified permuted block randomization with block size 4;

(iii) Pocock and Simon’s procedure;

(iv) Hu and Hu’s procedure.

b). We consider simulations to study Type I error of hypothesis testing for comparing treatment effects under four designs in a):  Pocock and Simon’s marginal procedure, stratified permuted block design, Hu and Hu’s procedure and complete randomization. The following linear model (including two covariates Z1  (medical conditions, Z1  = 1, if good health condition; Z1  = 0, otherwise.  )  and Z2  (smoke status, Z2  = 1, if smoke; Z2  = 0, otherwise. ) ) is assumed for responses Yi ,

Yi  = u1 Ii + u2 (1 - Ii ) + 81 Zi,1 + 82 Zi,2 + =i ,

where =i  is distributed as N(0, 1), 81  = 2 and 82  = -1.  No difference in treatment ef- fects is assumed to study Type I error, i.e., u1  = u2  = 0. Consider four working models: The two sample t-test; 1m(Z1 ); 1m(Z2 )) and 1m(Z1 , Z2 ) and three different sample sizes: