Question 1

Let (Xn )n∈NО   be a sequence of bounded random variables and consider the filtration (Fn )n∈NО   defined by Fn  := σ(X0 , X1 , . . . , Xn ), n e N0 .

Assume that for each n e N0  we have

匝 [Xn+1  │Fn] = 3Xn + 2.

Moreover, consider the process

Mn  := 3-nXn + 3-n ,    n e N0 .

Then, the process (Mn )n∈NО   is a martingale with respect to (Fn )n∈NО .

YES

NO

No answer

Question 2

Let (Xn )n∈NО   be a sequence of bounded random variables and consider the filtration (Fn )n∈NО   defined by Fn  := σ(X0 , X1 , . . . , Xn ), n e N0 .

Moreover, let (Mn )n∈NО   be an integrable Fn-adapted stochastic process with constant expectation, i.e. 匝[Mk ] = 匝[Ml ] for any k, l e N0 .

Then (Mn )n∈NО   is a martingale with respect to (Fn )n∈NО .

YES

NO

No answer

Question 3

Let  (Xn )n∈N  be independent and identically distributed random variables satisfying

P(Xn  = 1) = P(Xn  = 一1) =  .

Consider the stochastic process (Sn )n∈NО    defined by S0   := 0 and for each n ≥ 1 by Sn  := S0 +     Xi .

Moreover, define

T := inf{n ≥ 0: Sn  = 30}.

Then we have that 匝[ST ] = 30.

YES

NO

No answer

Question 4

Let (Xn )n∈NО    be a branching process defined as in (8.1.1) in the script on page 310 with X0  = 1.

Assume that the corresponding (Yn )n∈N  satisfy for each n e N

P(Yn  = 0) = c0 ,        P(Yn  = 2) = c2 ,

for constants c0 , c2  e (0, 1) satisfying c0 + c2  = 1, and that 匝[Yn] ≤ 1.  Then the extinction probability of the branching process is equal to 1.

YES

NO

No answer

Question 5

Let (Xn )n∈NО    be a branching process defined as in (8.1.1) in the script on page 310 which satisfies all the following:

● X0  = 1,

● One has limn→& 匝[Xn] = o.

Then its extinction probability is equal to zero.

YES

NO

No answer

Question 6

Let (Xn )n∈NО    be a branching process defined as in (8.1.1) in the script on page 310 with X0  = 1.

Assume that the corresponding (Yn )n∈N  satisfy

P(Yn  = 0) = c0 ,        P(Yn  = 1) = c1 ,        P(Yn  = 2) = c2 ,

for constants c0 , c1 , c2  e (0, 1) satisfying c0 + c1 + c2  = 1 and

4c0 c2 一 (c0 + c2 )2  = 0.

Then the extinction probability of the branching processes is equal to 1.

YES

NO

No answer

Question 7

Let (Xn )n∈NО   be a time-homogeneous Markov process with finite state space. Then (Xn )n∈NО   admits a stationary distribution.

YES

NO

No answer

Question 8

Let (Xn )n∈NО   be a time-homogeneous Markov process with state space § and denote for every state i e § its period by per(i).

Then for (Xn )n∈NО  to admit a limiting probability distribution, it is necessary but not sufficient to satisfy     i∈§ per(i) > 0.

YES

NO

No answer

Question 9

Let (Xn )n∈NО   be a time-homogeneous Markov process with transition matrix P , and let (Yn )n∈NО   be a time-homogeneous Markov process with transition

matrix  . Assume that  = Pn  for some n e N n [2, o).

YES

NO

No answer

Question 10

Let (Xn )n∈NО  be a time-homogeneous Markov process which admits a limiting probability distribution which is also a stationary distribution.

Then, at least one of the following three conditions needs to be satisfied:

● (Xn )n∈NО   is recurrent;

● (Xn )n∈NО   is aperiodic;

● (Xn )n∈NО   is irreducible.