Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MTH319

1st SEMESTER 2022/23

Assignment ONE

Financial Engineering

Introduction

This part of the course assessment is worth 15% of the final mark for the course, and consists of a take-home course assignment that will be worked on and submitted properly.

This project aims to practice your skills in pricing, hedging and trading involving options, stocks and bonds in the context of Monte Carlo simulations.

SCENARIO:

Suppose  you  are  working  on  a  security  market  consisting  of  a  stock,  a  Treasury  bond  and  a European (call/put) option:

1)   a Treasury bond delivers the annual yield of 2.0% (r = 2.0%) with continuous compounding, and has the infinity maturity (TBond=∞). Under a risk-neutral probability measure Q, the bond price follows a process as follows:

 = rdt

And the current bond price is $1.0, e.g., B(0) =1.0.

2)   the stock price follows a geometric Brownian motion. Under a risk-neutral probability measure Q, the process for the stock price is given by:

 = rdt +  dWt Q

And the current stock price is $100, e.g., S0  = $100 , and the volatility of this stock is 20% per

annum, e.g.,  = 20% .

3)   A European option on this stock (or Option A) is specified with the strike price of $100 (e.g., K=$100) and the time-to-maturity of 1 year (e.g., TA= 1 year). YOU may decide the type of Option A: either call/put.

Requirements:

I.     PART I (Numerical Analysis) (50%)

a)   Conduct the Monte Carlo simulation and work out the price of this European option with the number of simulation paths equal to M= 5000. (20%)

b)   Conduct the performance analysis 1) by changing the number of simulation paths (e.g., M=1000, 3000, 5000, 8000, 10000 and etc.) 2) by changing the number of time steps in each simulation path (e.g., N= 500, 1000, 3000, 5000, 7000 and etc.). Plot your numerical results. (15%)

c)    Estimate the probability functions of strike price at maturity (e.g., TA=1 year) by using the result as follows:

prob(ST  > ) = 一erT  ; prob(1ST = ) = erT  ,

based on the simulation conducted in a) by setting a range of

K~  {K   i}(i = 0, 1, ..., 100) . Plot these estimated probabilities.  (15%)

II.    PART II (Trading Strategies) (40%)

Suppose that there is another European option (Option B) written on this stock with a different strike K=$90 but with maturity of 2 years (TB=2 years).  YOU may decide the type of Option B: either call/put.

Assume now that you have taken a short position in the European option with the quantity of 1 (e.g., nA = -1)

d)   Develop the delta-neutral strategy to hedge your short position in Option A by using the portfolio of stocks and bonds. Plot 1) the time series of replication errors of your hedging portfolio (involving option A, stocks and bonds) and 2) terminal payoff of Option A against the payoff of the portfolio of stocks and bonds across different stock prices at maturity. (20%)

e)    Develop the delta-gamma neutral strategy to hedge your short position in Option A by using the portfolio of stocks, bonds and options B. Plot 1) the time series of replication errors of your hedged portfolio (involving option A, stocks, bonds and option B) and 2) the terminal payoff of Option A against the payoff of the portfolio of stocks, bonds and option B across different stock prices at maturity. (20%)

III.   PART III (Reporting) (10%)

Summary all the results in Part I and Part II and make comments on your results accordingly with the  maximum  of  600 words.  For  example, you  may  report your  numerical  results  by briefly describe the methodology at first, and make comments on your plots in PART I. Also, you  may  assess the  performance  and features  (i.e.,  advantages  and  disadvantages)  of the hedging strategies developed in PART II.

Assignment Guideline

This assignment assesses Learning Outcome A-D.

Note that you need:

1) Show all the results with comprehensive interpretations in a report (with the maximum

15 pages);

2) Show other relevant and supportive results in Python programme code or other program language code.

As the outcome from this project, you are expected to submit a report, associated with the code  files.  Please  disclose  the  detailed  process/results  as  much  as  possible  (e.g.,  the methodology  and  implementation  of  Monte  Carlo  simulation  and  the  development  of delta-neutral and delta-gamma-neutral hedging strategies). The deadline of the assignment submission to LMO is at 5pmonNovember 20,2022.

Your analysis has to be your own, demonstrating your own ideas and independent and critical thinking (and not those of somebody else).

However, your report must include:

1) A brief description of the project

In the first section, your work should contain a formal introductory section that provides an overview of  the project, including the title of the project, the setup of the securities market and the process of asset prices and the main goals that this project aims to achieve.

2) Process of the optimal hedging strategies and performance analysis

After specifying the security market that you are working on, you are ready to complete the tasks in I) and II) which can be presented in two separate sub-sections. It is suggested that you describe the process of Monte Carlo simulation in the market in detail and report the performance analysis of your implementation and the estimated probability plots as well, and then  provide  the  details  about  the  development  of  the  delta-neutral  and  delta-gamma- neutral  hedging strategies, followed the  performance analysis  of  hedging  portfolios. Also, please clearly explain how you obtain the required results, supported by your models in code files.

Note: the lecture and tutorial in Week 5&6 will demonstrate the strategy how to complete these tasks in a simplified case.

3) Comments on results

In the final section, you need evaluate the implementation process of PART I and II in terms of the  pricing  and  hedging  performance  in the  context  of  Monte  Carlo simulation.  It  is very important  for  you  to  understand  those  theoretical  results  discussed  in  the  lectures  by conducting practical investigations in a specified market, which will help to improve your skills in financial modelling and investment management in practice. The section is subject to the limit of 600 words.

Submission:   each of you submits only ONE  report and ONE code file.  In the first  page, please list your name(s) and student ID(s).